Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.111. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных

верно тождество:

$\frac{\left(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}\right)(a^2-b^2)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2} = 1.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна 1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменных. Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю, поэтому:

$a-b \ne 0 \implies a \ne b$

$a+b \ne 0 \implies a \ne -b$

Следовательно, $a^2 - b^2 \ne 0$.

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках в числителе.

Выражение $\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}$ представляет собой формулу квадрата суммы. Представим средний член как $\frac{2}{(a-b)(a+b)}$:

$\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{(a-b)(a+b)} + \frac{1}{(a+b)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b}\right)^2$

Теперь сложим дроби в скобках:

$\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{a+b+a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$

Тогда все выражение в скобках равно:

$\left(\frac{2a}{a^2-b^2}\right)^2 = \frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2}$

2. Упростим весь числитель.

Умножим полученный результат на второй множитель числителя $(a^2-b^2)^2$:

$\frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2} \cdot (a^2-b^2)^2 = 4a^2$

3. Упростим знаменатель.

Знаменатель $(a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2$ также является полным квадратом. Заметим, что $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$:

$(a+b)^2 + 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2 = \left((a+b) + (a-b)\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$(a+b+a-b)^2 = (2a)^2 = 4a^2$

Из этого следует дополнительное условие для ОДЗ: $4a^2 \ne 0$, что означает $a \ne 0$.

4. Найдем значение всей дроби.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{4a^2}{4a^2} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество верно для всех допустимых значений переменных ($a \ne b$, $a \ne -b$, $a \ne 0$).

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.112. Напишите выражение в виде многочлена:

1) $(3x^2 - 4y)^3$;

2) $(2a + b^2)^3$;

3) $(4m^3 - n^2)^2$.

1) Для того чтобы представить выражение $(3x^2 - 4y)^3$ в виде многочлена, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения "куб разности": $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае, $a = 3x^2$ и $b = 4y$.
Подставим наши значения в формулу и произведем вычисления: $(3x^2 - 4y)^3 = (3x^2)^3 - 3 \cdot (3x^2)^2 \cdot (4y) + 3 \cdot (3x^2) \cdot (4y)^2 - (4y)^3$
$= 27x^6 - 3 \cdot 9x^4 \cdot 4y + 3 \cdot 3x^2 \cdot 16y^2 - 64y^3$
$= 27x^6 - 108x^4y + 144x^2y^2 - 64y^3$
Ответ: $27x^6 - 108x^4y + 144x^2y^2 - 64y^3$

2) Для выражения $(2a + b^2)^3$ применим формулу "куб суммы": $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = 2a$ и $b = b^2$.
Подставим значения в формулу и раскроем скобки: $(2a + b^2)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot b^2 + 3 \cdot 2a \cdot (b^2)^2 + (b^2)^3$
$= 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot b^2 + 6a \cdot b^4 + b^6$
$= 8a^3 + 12a^2b^2 + 6ab^4 + b^6$
Ответ: $8a^3 + 12a^2b^2 + 6ab^4 + b^6$

3) Для выражения $(4m^3 - n^2)^2$ необходимо использовать формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $a = 4m^3$ и $b = n^2$.
Подставим значения в формулу и упростим: $(4m^3 - n^2)^2 = (4m^3)^2 - 2 \cdot 4m^3 \cdot n^2 + (n^2)^2$
$= 16m^6 - 8m^3n^2 + n^4$
Ответ: $16m^6 - 8m^3n^2 + n^4$

6.113. Решите уравнение:

1) $(2x+1)^2-(2x-1)^2=7x+1,5;$

2) $9x(3+x)-(3x+4)^2=2x-14.$

1) $(2x+1)^2-(2x-1)^2=7x+1,5$

Для решения левой части уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

В данном уравнении $a = 2x+1$ и $b = 2x-1$.

Подставим эти значения в формулу:

$((2x+1)-(2x-1))((2x+1)+(2x-1)) = 7x+1,5$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1) = 7x+1,5$

Выполним сложение и вычитание в скобках:

$(2)(4x) = 7x+1,5$

$8x = 7x+1,5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$8x - 7x = 1,5$

$x = 1,5$

Ответ: $1,5$.

2) $9x(3+x)-(3x+4)^2=2x-14$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого применим распределительный закон и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(9x \cdot 3 + 9x \cdot x) - ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2) = 2x-14$

$27x + 9x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2x-14$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:

$27x + 9x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2x-14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(9x^2-9x^2) + (27x-24x) - 16 = 2x-14$

$3x - 16 = 2x-14$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую:

$3x - 2x = -14 + 16$

$x = 2$

Ответ: $2$.

6.114. Определите обратную пропорциональность, график которой проходит через точку:

1) $A(4;0,5)$;

2) $B(-0,5;2)$.

Постройте график найденной функции.

1)

Общий вид функции обратной пропорциональности: $y = \frac{k}{x}$, где $k$ - коэффициент пропорциональности, $k \neq 0$.

По условию, график функции проходит через точку A(4; 0,5). Чтобы найти коэффициент $k$, подставим координаты этой точки ($x = 4$, $y = 0,5$) в уравнение функции:

$0,5 = \frac{k}{4}$

Отсюда находим $k$:

$k = 0,5 \cdot 4 = 2$

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = \frac{2}{x}$.

Для построения графика этой функции (гиперболы) составим таблицу значений. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях.

График функции $y = \frac{2}{x}$:

Ответ: $y = \frac{2}{x}$

2)

Аналогично, используем формулу $y = \frac{k}{x}$.

Подставим координаты точки B(−0,5; 2) в уравнение ($x = -0,5$, $y = 2$):

$2 = \frac{k}{-0,5}$

Отсюда находим $k$:

$k = 2 \cdot (-0,5) = -1$

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = -\frac{1}{x}$.

Для построения графика этой функции (гиперболы) составим таблицу значений. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях.

График функции $y = -\frac{1}{x}$:

Ответ: $y = -\frac{1}{x}$