Номер 6.111, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.111. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных

верно тождество:

$\frac{\left(\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}\right)(a^2-b^2)^2}{(a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2} = 1.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна 1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменных. Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю, поэтому:

$a-b \ne 0 \implies a \ne b$

$a+b \ne 0 \implies a \ne -b$

Следовательно, $a^2 - b^2 \ne 0$.

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Упростим выражение в скобках в числителе.

Выражение $\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{a^2-b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}$ представляет собой формулу квадрата суммы. Представим средний член как $\frac{2}{(a-b)(a+b)}$:

$\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{2}{(a-b)(a+b)} + \frac{1}{(a+b)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b}\right)^2$

Теперь сложим дроби в скобках:

$\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{a+b+a-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$

Тогда все выражение в скобках равно:

$\left(\frac{2a}{a^2-b^2}\right)^2 = \frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2}$

2. Упростим весь числитель.

Умножим полученный результат на второй множитель числителя $(a^2-b^2)^2$:

$\frac{4a^2}{(a^2-b^2)^2} \cdot (a^2-b^2)^2 = 4a^2$

3. Упростим знаменатель.

Знаменатель $(a+b)^2 + 2(a^2-b^2) + (a-b)^2$ также является полным квадратом. Заметим, что $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$:

$(a+b)^2 + 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2 = \left((a+b) + (a-b)\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$(a+b+a-b)^2 = (2a)^2 = 4a^2$

Из этого следует дополнительное условие для ОДЗ: $4a^2 \ne 0$, что означает $a \ne 0$.

4. Найдем значение всей дроби.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{4a^2}{4a^2} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество верно для всех допустимых значений переменных ($a \ne b$, $a \ne -b$, $a \ne 0$).

Ответ: Что и требовалось доказать.