Номер 6.108, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.108. Докажите тождество:

1) $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}$;

2) $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем обе его части к общему знаменателю.
Рассмотрим левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)}$

Приведем знаменатели к единому виду, используя тождества $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$\frac{c-a}{(b-c)(b-a)} = \frac{c-a}{(b-c)(-(a-b))} = -\frac{c-a}{(a-b)(b-c)}$

$\frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{a-b}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$

Тогда левая часть примет вид:

$ЛЧ = \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} - \frac{c-a}{(a-b)(b-c)} + \frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ЛЧ = \frac{(b-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{(c-a)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)}$

Заметим, что $-(c-a)(a-c) = -(-(a-c))(a-c) = (a-c)^2$. Таким образом, числитель равен:

$(b-c)^2 + (a-c)^2 + (a-b)^2 = (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Итак, левая часть равна:

$ЛЧ = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ):

$ПЧ = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}$

Используя $c-a = -(a-c)$, перепишем выражение:

$ПЧ = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} - \frac{2}{a-c}$

Приведем к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(a-c)$:

$ПЧ = 2 \left( \frac{(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} \right)$

Раскроем скобки в числителе:

$2[(b-c)(a-c) + (a-b)(a-c) - (a-b)(b-c)] = $

$= 2[(ab - bc - ac + c^2) + (a^2 - ac - ab + bc) - (ab - b^2 - ac + bc)] = $

$= 2[ab - bc - ac + c^2 + a^2 - ac - ab + bc - ab + b^2 + ac - bc] = $

$= 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Итак, правая часть равна:

$ПЧ = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Рассмотрим левую часть равенства как функцию от $x$, обозначив ее $L(x)$:

$L(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

Поскольку $a, b, c$ - константы, $L(x)$ является многочленом от $x$. Степень каждого слагаемого не выше второй, следовательно, $L(x)$ - многочлен степени не выше 2.
Вычислим коэффициент при $x^2$. Для этого приведем выражение к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели слагаемых:

$(b-c)(b-a) = -(b-c)(a-b)$

$(c-a)(c-b) = (-(a-c))(-(b-c)) = (a-c)(b-c)$

Тогда:

$L(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} - \frac{(x-c)(x-a)}{(a-b)(b-c)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}$

В каждом числителе $(x-b)(x-c) = x^2 - (b+c)x + bc$ и т.д., коэффициент при $x^2$ равен 1.
Коэффициент при $x^2$ во всем выражении $L(x)$ равен сумме коэффициентов при $x^2$ в каждом слагаемом:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)}$

Приводя к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$, получаем в числителе:

$(b-c) - (a-c) + (a-b) = b - c - a + c + a - b = 0$

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен нулю, $L(x)$ на самом деле является многочленом степени не выше 1, то есть имеет вид $L(x) = Kx + M$ для некоторых констант $K$ и $M$.
Чтобы найти $K$ и $M$, вычислим значение $L(x)$ в двух различных точках, например, при $x=a$ и $x=b$.
При $x=a$:

$L(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + 0 + 0 = 1$

При $x=b$:

$L(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} = 0 + 1 + 0 = 1$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} Ka + M = 1 \\ Kb + M = 1 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$K(a-b) = 0$

Так как по условию $a \neq b$ (иначе знаменатели обращаются в ноль), то $K=0$.
Подставляя $K=0$ в любое из уравнений системы, находим $M=1$.
Следовательно, $L(x) = 0 \cdot x + 1 = 1$ для любого значения $x$.

Ответ: Тождество доказано.