Номер 6.109, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.109. Упростите выражение:

1) $\frac{x - a}{x - b}$ при $x = \frac{ab}{a + b}$;

2) $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$ при $x = \frac{a - b}{a + b}$.

1)

Чтобы упростить выражение $\frac{x-a}{x-b}$, подставим в него заданное значение $x = \frac{ab}{a+b}$.

Выражение примет вид:

$\frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Сначала преобразуем числитель дроби, приведя его к общему знаменателю $(a+b)$:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Затем преобразуем знаменатель дроби, также приведя его к общему знаменателю $(a+b)$:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ (это возможно, так как по условию $a+b$ находится в знаменателе и не может быть равен нулю) и знаки "минус":

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$.

2)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$, подставим в него заданное значение $x = \frac{a-b}{a+b}$.

Выражение примет вид:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Сначала преобразуем числитель. Общий знаменатель для выражений в числителе будет $b(a+b)$:

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a+b)}$

Затем преобразуем знаменатель. Общий знаменатель для выражений в знаменателе будет $a(a+b)$:

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}$

Умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{a^2+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$

Сокращаем общие множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$ (предполагая, что они не равны нулю, что следует из вида исходного выражения):

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$.