Номер 6.110, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.110. Упростите выражение:

1) $\frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}};$

2) $\frac{\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b}}{\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}}$.

1)

Чтобы упростить данное выражение, преобразуем сначала числитель и знаменатель основной дроби по отдельности.

Исходное выражение: $ \frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}} $

1. Преобразуем числитель. Приведем выражение $x - \frac{yz}{y-z}$ к общему знаменателю $(y-z)$: $$ x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z) - yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} $$

2. Преобразуем знаменатель. Приведем выражение $y - \frac{xz}{x-z}$ к общему знаменателю $(x-z)$: $$ y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z) - xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z} $$

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь: $$ \frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} $$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$ \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz} $$

5. Сократим одинаковые множители $(xy - xz - yz)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cancel{(xy - xz - yz)}}{y-z} \cdot \frac{x-z}{\cancel{(xy - xz - yz)}} = \frac{x-z}{y-z} $$

Ответ: $ \frac{x-z}{y-z} $

2)

Упростим данное выражение, так же как и в первом примере, преобразовав числитель и знаменатель основной дроби.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b}}{\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}} $

1. Преобразуем числитель. Общий знаменатель для дробей $ \frac{a-b}{c-b} $ и $ \frac{b+c}{a+b} $ равен $(c-b)(a+b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} - \frac{(b+c)(c-b)}{(c-b)(a+b)} = \frac{(a^2-b^2) - (c^2-b^2)}{(c-b)(a+b)} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{(c-b)(a+b)} = \frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)} $$

2. Преобразуем знаменатель. Общий знаменатель для дробей $ \frac{a+b}{c-b} $ и $ \frac{b-c}{a+b} $ равен $(c-b)(a+b)$. Обратим внимание, что $b-c = -(c-b)$. $$ \frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} + \frac{(b-c)(c-b)}{(c-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (c-b)^2}{(c-b)(a+b)} $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к числителю: $$ (a+b)^2 - (c-b)^2 = ((a+b)-(c-b))((a+b)+(c-b)) = (a+b-c+b)(a+b+c-b) = (a-c+2b)(a+c) $$ Таким образом, знаменатель равен: $$ \frac{(a-c+2b)(a+c)}{(c-b)(a+b)} $$

3. Подставим упрощенные выражения в основную дробь: $$ \frac{\frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)}}{\frac{(a-c+2b)(a+c)}{(c-b)(a+b)}} $$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель: $$ \frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)} \cdot \frac{(c-b)(a+b)}{(a-c+2b)(a+c)} = \frac{a^2-c^2}{(a-c+2b)(a+c)} $$

5. Разложим числитель $ a^2-c^2 $ как разность квадратов $(a-c)(a+c)$ и сократим дробь: $$ \frac{(a-c)(a+c)}{(a-c+2b)(a+c)} = \frac{a-c}{a-c+2b} $$

Ответ: $ \frac{a-c}{a-c+2b} $