Номер 6.107, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.107. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4}$;

2) $(\frac{a^2+b^2}{ab}-2) : (\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2}-1) \cdot (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}).$

Упростим выражение по частям. Сначала сложим первые две дроби, приведя их к общему знаменателю $(ax+by)(ax-by) = a^2x^2 - b^2y^2$.

$ \frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} = \frac{(a+b)(ax-by) + (a-b)(ax+by)}{(ax+by)(ax-by)} = \frac{(a^2x-aby+abx-b^2y) + (a^2x+aby-abx-b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} = \frac{2a^2x - 2b^2y}{a^2x^2 - b^2y^2} = \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} $

Теперь выражение имеет вид:

$ \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} $

Сложим первые две дроби получившегося выражения. Общий знаменатель будет $(a^2x^2-b^2y^2)(a^2x^2+b^2y^2) = a^4x^4 - b^4y^4$.

$ \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} = \frac{2(a^2x - b^2y)(a^2x^2+b^2y^2) + 2(a^2x+b^2y)(a^2x^2-b^2y^2)}{a^4x^4 - b^4y^4} $

Раскроем скобки в числителе:

$ 2(a^4x^3 + a^2b^2xy^2 - a^2b^2x^2y - b^4y^3) + 2(a^4x^3 - a^2b^2xy^2 + a^2b^2x^2y - b^4y^3) = 2(2a^4x^3 - 2b^4y^3) = 4(a^4x^3 - b^4y^3) $

Таким образом, сумма первых трех исходных дробей равна:

$ \frac{4(a^4x^3 - b^4y^3)}{a^4x^4 - b^4y^4} $

Теперь вычтем последнюю дробь из полученного результата:

$ \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} = 0 $

Ответ: $0$.

Упростим выражение по действиям, предварительно преобразовав каждое выражение в скобках.

1. Первое выражение в скобках:

$ \frac{a^2+b^2}{ab} - 2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} $

2. Второе выражение в скобках:

$ \frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2} - 1 = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} - 1 = \frac{2a}{a+b} - 1 = \frac{2a-(a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b} $

3. Третье выражение в скобках:

$ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2} $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$ \left( \frac{(a-b)^2}{ab} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a^2-b^2} \right) $

Выполним деление (заменив его умножением на обратную дробь) и умножение, а также разложим знаменатель последней дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a(a-b)^2(a+b)}{ab(a-b)(a-b)(a+b)} = \frac{2a(a-b)^2(a+b)}{ab(a-b)^2(a+b)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $(a-b)^2$ и $(a+b)$):

$ \frac{2}{b} $

Ответ: $ \frac{2}{b} $.