Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.85. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} $ при $ x = \frac{ab}{a-b} $;

2) $ \frac{x^2 y^2}{x^2 - y^2} $ при $ x = \frac{2ab}{a^2 - b^2} $; $ y = \frac{2ab}{a^2 + b^2} $.

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} $ при $ x = \frac{ab}{a-b} $, удобнее сначала по отдельности упростить каждое слагаемое, подставив в него значение $ x $.
Найдем значение первого слагаемого $ \frac{ax}{a+x} $.
Сначала вычислим знаменатель:
$ a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b) + ab}{a-b} = \frac{a^2 - ab + ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b} $.
Теперь вычислим числитель:
$ ax = a \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2b}{a-b} $.
Таким образом, первое слагаемое равно:
$ \frac{ax}{a+x} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b $.
Теперь найдем значение второго слагаемого $ \frac{bx}{b-x} $.
Вычислим знаменатель:
$ b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b) - ab}{a-b} = \frac{ab - b^2 - ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b} $.
Вычислим числитель:
$ bx = b \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b} $.
Таким образом, второе слагаемое равно:
$ \frac{bx}{b-x} = \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = -a $.
Наконец, найдем разность полученных значений:
$ b - (-a) = a+b $.
Ответ: $ a+b $.

2) Найдем значение выражения $ \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} $ при $ x = \frac{2ab}{a^2-b^2} $ и $ y = \frac{2ab}{a^2+b^2} $.
Для удобства преобразуем исходное выражение. Разделим числитель и знаменатель дроби на $ x^2y^2 $ (это возможно, так как из условий $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq \pm b $ следует, что $ x \neq 0, y \neq 0 $):
$ \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} = \frac{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}{\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}} $.
Найдем значения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{y} $:
$ \frac{1}{x} = \frac{a^2-b^2}{2ab} $
$ \frac{1}{y} = \frac{a^2+b^2}{2ab} $
Знаменатель $ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:
$ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) $.
Вычислим каждый множитель отдельно:
$ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{a^2+b^2}{2ab} - \frac{a^2-b^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2 - (a^2-b^2)}{2ab} = \frac{a^2+b^2 - a^2+b^2}{2ab} = \frac{2b^2}{2ab} = \frac{b}{a} $.
$ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{a^2+b^2}{2ab} + \frac{a^2-b^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2 + a^2-b^2}{2ab} = \frac{2a^2}{2ab} = \frac{a}{b} $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1 $.
Следовательно, знаменатель преобразованного выражения равен 1.
Тогда значение исходного выражения равно $ \frac{1}{1} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

6.86. Дано целое число $a+\frac{1}{a}$. Докажите, что числа $a^2+\frac{1}{a^2}$ и $a^3+\frac{1}{a^3}$ также целые.

По условию задачи, выражение $a + \frac{1}{a}$ является целым числом. Обозначим это число буквой $k$, где $k$ принадлежит множеству целых чисел ($k \in \mathbb{Z}$).

$a + \frac{1}{a} = k$

Доказательство для $a^2 + \frac{1}{a^2}$

Чтобы доказать, что $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым числом, возведем в квадрат исходное выражение $a + \frac{1}{a}$:

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

С другой стороны, так как $a + \frac{1}{a} = k$, то $(a + \frac{1}{a})^2 = k^2$.

Приравняем правые части полученных равенств:

$k^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$

Теперь выразим искомое выражение $a^2 + \frac{1}{a^2}$:

$a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2$

Поскольку $k$ — целое число, то его квадрат $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 2) всегда является целым числом. Таким образом, мы доказали, что $a^2 + \frac{1}{a^2}$ — целое число.

Ответ: Число $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым.

Доказательство для $a^3 + \frac{1}{a^3}$

Для доказательства того, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым, возведем в куб исходное выражение $a + \frac{1}{a}$:

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{a})^3$

Упростим выражение:

$(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}$

Сгруппируем слагаемые:

$(a + \frac{1}{a})^3 = (a^3 + \frac{1}{a^3}) + 3(a + \frac{1}{a})$

Мы знаем, что $a + \frac{1}{a} = k$. Подставим это значение в уравнение:

$k^3 = (a^3 + \frac{1}{a^3}) + 3k$

Выразим искомое выражение $a^3 + \frac{1}{a^3}$:

$a^3 + \frac{1}{a^3} = k^3 - 3k$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $3k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $3k$) всегда является целым числом. Таким образом, мы доказали, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ — целое число.

Ответ: Число $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым.

6.87. Многочлен $x^8-16$ представьте в виде произведения многочленов второй степени.

Для того чтобы представить многочлен $x^8-16$ в виде произведения многочленов второй степени, мы будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, а также метод выделения полного квадрата.

1. Сначала представим исходный многочлен в виде разности квадратов: $x^8-16 = (x^4)^2 - 4^2$. Применив формулу, получаем:
$x^8 - 16 = (x^4 - 4)(x^4 + 4)$.

2. Теперь разложим на множители первый сомножитель $(x^4 - 4)$. Это также разность квадратов: $(x^2)^2 - 2^2$.
$x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$.
Многочлены $(x^2 - 2)$ и $(x^2 + 2)$ являются многочленами второй степени.

3. Далее разложим на множители второй сомножитель $(x^4 + 4)$. Это сумма квадратов, для ее разложения воспользуемся приемом выделения полного квадрата. Прибавим и вычтем слагаемое $4x^2$:
$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$.
Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:
$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$.
Мы снова получили разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

4. Теперь соберем все полученные множители вместе. Подставим разложения для $(x^4 - 4)$ и $(x^4 + 4)$ в выражение из первого шага:
$x^8 - 16 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.
В результате мы представили исходный многочлен в виде произведения четырех многочленов второй степени.

Ответ: $(x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6.88. Решите уравнение:

1) $2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6$;

2) $0,69 = \frac{5-2y}{8} \cdot 13,8$;

3) $\frac{1-y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3$;

4) $0,5 \cdot \frac{4+2x}{13} = x-10$.

Решим уравнение $2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2 и 3), то есть на 6:

$6 \cdot (2x - \frac{x-2}{2}) = 6 \cdot (\frac{x}{3} - 6)$

$12x - 6 \cdot \frac{x-2}{2} = 6 \cdot \frac{x}{3} - 36$

$12x - 3(x-2) = 2x - 36$

Раскроем скобки:

$12x - 3x + 6 = 2x - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x + 6 = 2x - 36$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую, меняя знаки при переносе:

$9x - 2x = -36 - 6$

$7x = -42$

Найдем $x$, разделив обе части на 7:

$x = \frac{-42}{7}$

$x = -6$

Ответ: -6

Решим уравнение $0,69 = \frac{5-2y}{8} \cdot 13,8$.

Для удобства поменяем местами левую и правую части уравнения:

$\frac{5-2y}{8} \cdot 13,8 = 0,69$

Чтобы выделить дробь, разделим обе части уравнения на 13,8:

$\frac{5-2y}{8} = \frac{0,69}{13,8}$

Вычислим значение в правой части:

$\frac{0,69}{13,8} = \frac{69}{1380} = \frac{1}{20} = 0,05$

Уравнение принимает вид:

$\frac{5-2y}{8} = 0,05$

Умножим обе части на 8:

$5-2y = 0,05 \cdot 8$

$5-2y = 0,4$

Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:

$-2y = 0,4 - 5$

$-2y = -4,6$

Найдем $y$, разделив обе части на -2:

$y = \frac{-4,6}{-2}$

$y = 2,3$

Ответ: 2,3

Решим уравнение $\frac{1-y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 2. Это число 14. Умножим обе части уравнения на 14:

$14 \cdot (\frac{1-y}{7} + y) = 14 \cdot (\frac{y}{2} + 3)$

$14 \cdot \frac{1-y}{7} + 14 \cdot y = 14 \cdot \frac{y}{2} + 14 \cdot 3$

Выполним сокращение и умножение:

$2(1-y) + 14y = 7y + 42$

Раскроем скобки:

$2 - 2y + 14y = 7y + 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 12y = 7y + 42$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$12y - 7y = 42 - 2$

$5y = 40$

Найдем $y$, разделив обе части на 5:

$y = \frac{40}{5}$

$y = 8$

Ответ: 8

Решим уравнение $0,5 \cdot \frac{4+2x}{13} = x - 10$.

Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4+2x}{13} = x - 10$

Перемножим дроби в левой части:

$\frac{4+2x}{2 \cdot 13} = x - 10$

$\frac{4+2x}{26} = x - 10$

В числителе левой части вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2+x)}{26} = x - 10$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2+x}{13} = x - 10$

Умножим обе части уравнения на 13:

$2+x = 13(x - 10)$

Раскроем скобки в правой части:

$2+x = 13x - 130$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$2 + 130 = 13x - x$

$132 = 12x$

Найдем $x$:

$x = \frac{132}{12}$

$x = 11$

Ответ: 11

6.89. Постройте в одной и той же системе координат графики функций $y=x^2$ и $y=x+2$. Найдите с помощью графиков функций координаты точек пересечения этих графиков.

Для решения задачи необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y=x^2$ и $y=x+2$, а затем найти их точки пересечения.

Построение графиков функций

Сначала построим график функции $y=x^2$. Это парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Далее построим график функции $y=x+2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
- если $x=0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
- если $y=0$, то $0 = x + 2$, откуда $x = -2$. Получаем точку $(-2, 0)$.
Проведем прямую через эти две точки.

Нахождение координат точек пересечения с помощью графиков

Построим оба графика в одной системе координат.

Точки пересечения графиков — это общие точки для параболы и прямой. На построенном чертеже видно, что таких точек две. Определим их координаты (точки A и B на графике):

Первая точка пересечения: $(-1, 1)$.
Вторая точка пересечения: $(2, 4)$.

Для проверки правильности найденных координат можно подставить их в уравнения обеих функций.
Для точки $(-1, 1)$:
$y = x^2 \Rightarrow 1 = (-1)^2 \Rightarrow 1=1$ (верно).
$y = x+2 \Rightarrow 1 = -1+2 \Rightarrow 1=1$ (верно).
Для точки $(2, 4)$:
$y = x^2 \Rightarrow 4 = 2^2 \Rightarrow 4=4$ (верно).
$y = x+2 \Rightarrow 4 = 2+2 \Rightarrow 4=4$ (верно).
Обе точки принадлежат обоим графикам, следовательно, их координаты найдены верно.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

6.90*. Найдите координаты точек пересечения графиков функций, данных в упражнении 6.89, решая систему уравнений. При этом для нахождения корней многочлена разложите уравнения на множители.

Для нахождения координат точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их уравнения и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Найденные значения $x$ являются абсциссами точек пересечения. Для нахождения ординат ($y$) нужно подставить каждое значение $x$ в уравнение любой из исходных функций.

Предположим, что в упражнении 6.89 были даны следующие пары функций:

а) $y = x^3$ и $y = x$

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений: $x^3 = x$.

Перенесем все члены в левую часть и разложим полученное выражение на множители:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x$ (это проще):

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

б) $y = x^3$ и $y = x^2$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^3 = x^2$.

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$.

в) $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^3 \\ y = \sqrt[3]{x} \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^3 = \sqrt[3]{x}$.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(x^3)^3 = (\sqrt[3]{x})^3$

$x^9 = x$

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

Выражения $x^2 + 1$ и $x^4 + 1$ всегда положительны при любых действительных значениях $x$, поэтому они не могут быть равны нулю. Следовательно, корни уравнения определяются первыми тремя множителями:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Найдем ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^3$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^3 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^3 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = (-1)^3 = -1$. Координаты третьей точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

г) $y = x^2$ и $y = |x|$

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = |x| \end{cases} $

Приравняем правые части: $x^2 = |x|$.

Так как $x^2 = |x|^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$|x|^2 = |x|$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|^2 - |x| = 0$

$|x|(|x| - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x_2 = 1$ или $x_3 = -1$

Мы нашли три абсциссы точек пересечения. Найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Координаты второй точки: $(1; 1)$.

Если $x_3 = -1$, то $y_3 = (-1)^2 = 1$. Координаты третьей точки: $(-1; 1)$.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.

6.91. От села до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите расстояние от села до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем на путь от села до станции.

Для решения задачи введем переменную для неизвестной величины – расстояния.

Пусть S – искомое расстояние от села до станции в километрах (км).

Известно, что скорость велосипедиста на пути от села до станции ($v_1$) была 15 км/ч, а на обратном пути ($v_2$) – 10 км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = S/v$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, затраченное на путь от села до станции: $t_1 = S / v_1 = S / 15$ часов.

Время, затраченное на обратный путь от станции до села: $t_2 = S / v_2 = S / 10$ часов.

Согласно условию, на обратный путь велосипедист затратил на 1 час больше. Это означает, что разница между временем обратного пути и временем пути до станции равна 1 часу. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$S/10 - S/15 = 1$

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное для чисел 10 и 15. Это число 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot (S/10) - 30 \cdot (S/15) = 30 \cdot 1$

Выполним умножение:

$3S - 2S = 30$

$S = 30$

Таким образом, мы нашли, что расстояние от села до станции составляет 30 км.

Проверим полученный результат:
Время пути до станции: $t_1 = 30 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 2$ часа.
Время обратного пути: $t_2 = 30 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 3$ часа.
Разница во времени: $3 - 2 = 1$ час, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 30 км.