Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как умножить одно дробное выражение на другое дробное выражение?

2. Докажите формулу (1).

3. Как разделить одно дробное выражение на другое дробное выражение?

4. Докажите формулу (2).

1. Как умножить одно дробное выражение на другое дробное выражение?

Чтобы умножить одно дробное выражение на другое, необходимо числитель первого выражения умножить на числитель второго, а знаменатель первого — на знаменатель второго. Полученное произведение числителей станет числителем новой дроби, а произведение знаменателей — её знаменателем.
Правило умножения дробных выражений можно записать в виде формулы:
$ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это некоторые выражения (например, многочлены), причём $B$ и $D$ не могут быть равны нулю.
На практике, перед тем как перемножать, удобно сначала разложить числители и знаменатели на множители и сократить одинаковые множители, если они есть.
Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить их числители и записать результат в числитель, и перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель.

2. Докажите формулу (1).

Предположим, что формула (1) — это формула умножения дробей: $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $.
Докажем её.
Пусть даны два дробных выражения $x = \frac{A}{B}$ и $y = \frac{C}{D}$. По определению дроби, это означает, что выполняются равенства:
$x \cdot B = A$
$y \cdot D = C$
Нам нужно найти произведение $x \cdot y$. Перемножим левые и правые части этих двух равенств:
$(x \cdot B) \cdot (y \cdot D) = A \cdot C$
Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители в левой части:
$(x \cdot y) \cdot (B \cdot D) = A \cdot C$
Чтобы найти $x \cdot y$, разделим обе части полученного равенства на выражение $(B \cdot D)$. Это можно сделать, так как по условию знаменатели $B \neq 0$ и $D \neq 0$, следовательно, их произведение $B \cdot D \neq 0$.
$x \cdot y = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$
Теперь заменим $x$ и $y$ их исходными дробными выражениями:
$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$
Таким образом, формула доказана.
Ответ: Формула умножения дробных выражений доказана с использованием определения дроби и свойств операции умножения.

3. Как разделить одно дробное выражение на другое дробное выражение?

Чтобы разделить одно дробное выражение (делимое) на другое (делитель), нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная данной, получается заменой её числителя и знаменателя местами.
Таким образом, операция деления сводится к операции умножения.
Правило деления дробных выражений в виде формулы:
$ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это выражения, причем $B \neq 0$, $D \neq 0$ и $C \neq 0$ (так как делитель не может быть равен нулю).
Ответ: Чтобы разделить одно дробное выражение на другое, нужно первое выражение умножить на выражение, обратное второму.

4. Докажите формулу (2).

Предположим, что формула (2) — это формула деления дробей: $ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $.
Докажем её.
Пусть частное от деления двух дробей равно $z$:
$z = \frac{A}{B} : \frac{C}{D}$
По определению операции деления, если частное $z$ умножить на делитель $\frac{C}{D}$, то мы должны получить делимое $\frac{A}{B}$:
$z \cdot \frac{C}{D} = \frac{A}{B}$
Чтобы найти $z$ из этого уравнения, умножим обе его части на дробь, обратную $\frac{C}{D}$, то есть на $\frac{D}{C}$. (Это возможно, т.к. по условию $C \neq 0$).
$(z \cdot \frac{C}{D}) \cdot \frac{D}{C} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$
В левой части равенства произведение взаимно обратных дробей $\frac{C}{D} \cdot \frac{D}{C}$ равно 1.
$z \cdot 1 = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$
$z = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$
Подставив вместо $z$ его первоначальное выражение, получаем:
$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$
Формула доказана.
Ответ: Формула деления дробных выражений доказана с использованием определения операции деления и правила умножения дробей.