Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями?

2. Как найти разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями?

3. Докажите формулы (1) и (2).

4. Как сложить дробные выражения с разными знаменателями?

5. Как найти разность дробных выражений с разными знаменателями?

6. Докажите формулы (3) и (4).

1. Как сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить дробные выражения с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Это правило аналогично сложению обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

В виде формулы это правило записывается так: $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $
Здесь $A$, $B$ и $C$ – это многочлены, причем многочлен $C$ не равен нулю.

Ответ: Нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменений.

2. Как найти разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями?

Чтобы найти разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого (первой дроби) вычесть числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставить тем же.

В виде формулы это правило записывается так: $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $
Здесь $A$, $B$ и $C$ – это многочлены, причем многочлен $C$ не равен нулю.

Ответ: Нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

3. Докажите формулы (1) и (2).

Предполагается, что формула (1) — это формула сложения $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $, а формула (2) — формула вычитания $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $.

Доказательство формулы (1)

По определению, рациональная дробь $\frac{P}{Q}$ есть выражение, значение которого равно частному от деления $P$ на $Q$. Обозначим дроби $\frac{A}{C}$ и $\frac{B}{C}$ через $x$ и $y$ соответственно:
$x = \frac{A}{C}$ и $y = \frac{B}{C}$.
Из определения частного следует, что $A = x \cdot C$ и $B = y \cdot C$.
Сложим левые и правые части этих равенств: $A + B = x \cdot C + y \cdot C$.
Используя распределительное свойство умножения, вынесем $C$ за скобки в правой части: $A + B = (x + y) \cdot C$.
Снова по определению частного, из последнего равенства получаем: $x + y = \frac{A+B}{C}$.
Подставив вместо $x$ и $y$ исходные дроби, приходим к доказываемой формуле: $ \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C} $.
Формула (1) доказана.

Доказательство формулы (2)

Доказательство аналогично. Пусть $x = \frac{A}{C}$ и $y = \frac{B}{C}$, тогда $A = x \cdot C$ и $B = y \cdot C$.
Найдем разность левых и правых частей: $A - B = x \cdot C - y \cdot C$.
Вынесем $C$ за скобки: $A - B = (x - y) \cdot C$.
Отсюда выразим разность $x - y$: $x - y = \frac{A-B}{C}$.
Подставив исходные дроби, получаем: $ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C} $.
Формула (2) доказана.

Ответ: Доказательство основано на определении дроби как результата деления и на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания.

4. Как сложить дробные выражения с разными знаменателями?

Чтобы сложить дробные выражения с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю. Алгоритм действий следующий:
1. Найти общий знаменатель для данных дробей. В качестве общего знаменателя можно взять произведение знаменателей, но для упрощения вычислений лучше использовать наименьший общий знаменатель (наименьшее общее кратное многочленов-знаменателей).
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Он равен отношению общего знаменателя к знаменателю данной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Это преобразование основано на основном свойстве дроби.
4. Сложить полученные дроби с теперь уже одинаковыми знаменателями, то есть сложить их новые числители, а знаменатель оставить общим.
5. Если это возможно, упростить (сократить) полученную в результате дробь.

Ответ: Нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить их числители, оставив общий знаменатель без изменений.

5. Как найти разность дробных выражений с разными знаменателями?

Действия для нахождения разности дробных выражений с разными знаменателями аналогичны действиям при сложении. Различие заключается лишь в последнем шаге.
1. Найти общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для числителя и знаменателя каждой дроби.
3. Привести каждую дробь к общему знаменателю.
4. Найти разность полученных дробей: из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а общий знаменатель оставить прежним.
5. По возможности упростить результат.

Ответ: Нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем найти разность их числителей, оставив общий знаменатель без изменений.

6. Докажите формулы (3) и (4).

Предполагается, что формула (3) — это формула сложения $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD+BC}{BD} $, а формула (4) — формула вычитания $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD-BC}{BD} $.

Доказательство формулы (3)

Рассмотрим сумму $\frac{A}{B} + \frac{C}{D}$. Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $BD$. Для этого воспользуемся основным свойством дроби (умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение не меняет дроби).
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $D$, а второй — на $B$:
$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D}$
$\frac{C}{D} = \frac{C \cdot B}{D \cdot B}$
Теперь сложим полученные дроби. Так как $DB=BD$ (в силу коммутативности умножения), знаменатели стали одинаковыми:
$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} + \frac{CB}{BD}$
По правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями (формула 1) получаем:
$\frac{AD}{BD} + \frac{BC}{BD} = \frac{AD+BC}{BD}$.
Формула (3) доказана.

Доказательство формулы (4)

Доказательство полностью аналогично. Приведем дроби $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$ к общему знаменателю $BD$:
$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} - \frac{CB}{BD}$
По правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями (формула 2) получаем:
$\frac{AD}{BD} - \frac{BC}{BD} = \frac{AD-BC}{BD}$.
Формула (4) доказана.

Ответ: Доказательство основано на приведении дробей к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби и последующем применении правил сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

В упражнениях 6.30–6.39 выполните указанные действия.

6.30.1) $\frac{x-3}{4} + \frac{a+1}{4}$;

2) $\frac{m+n}{a} - \frac{m-n}{a}$;

3) $\frac{5x+1}{2} - \frac{x}{2}$;

4) $\frac{x-1}{4} + \frac{x+2}{4} - \frac{x-3}{4}$;

5) $\frac{3p-2q}{m} - \frac{p-q}{m}$;

6) $\frac{2a+1}{b} + \frac{3a+1}{b} - \frac{a-2}{b}$.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{x-3}{4} + \frac{a+1}{4} = \frac{(x-3)+(a+1)}{4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x-3+a+1}{4} = \frac{x+a-2}{4}$

Ответ: $\frac{x+a-2}{4}$

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. Знак минус перед второй дробью изменит знаки всех слагаемых в ее числителе.

$\frac{m+n}{a} - \frac{m-n}{a} = \frac{(m+n)-(m-n)}{a}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки во второй скобке:

$\frac{m+n-m+n}{a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2n}{a}$

Ответ: $\frac{2n}{a}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполним вычитание числителей.

$\frac{5x+1}{2} - \frac{x}{2} = \frac{(5x+1)-x}{2}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$\frac{5x+1-x}{2} = \frac{4x+1}{2}$

Ответ: $\frac{4x+1}{2}$

Все дроби в выражении имеют одинаковый знаменатель. Выполним сложение и вычитание числителей, записав их под общей чертой.

$\frac{x-1}{4} + \frac{x+2}{4} - \frac{x-3}{4} = \frac{(x-1)+(x+2)-(x-3)}{4}$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед последним выражением:

$\frac{x-1+x+2-x+3}{4}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x+x-x)+(-1+2+3)}{4} = \frac{x+4}{4}$

Ответ: $\frac{x+4}{4}$

Дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполним вычитание, помня, что знак минус перед второй дробью меняет знаки в ее числителе.

$\frac{3p-2q}{m} - \frac{p-q}{m} = \frac{(3p-2q)-(p-q)}{m}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3p-2q-p+q}{m}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3p-p)+(-2q+q)}{m} = \frac{2p-q}{m}$

Ответ: $\frac{2p-q}{m}$

Все дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполним действия с числителями, записав их под общей дробной чертой.

$\frac{2a+1}{b} + \frac{3a+1}{b} - \frac{a-2}{b} = \frac{(2a+1)+(3a+1)-(a-2)}{b}$

Раскроем скобки в числителе. Знак минус перед последним выражением меняет знаки в нем на противоположные:

$\frac{2a+1+3a+1-a+2}{b}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a+3a-a)+(1+1+2)}{b} = \frac{4a+4}{b}$

Ответ: $\frac{4a+4}{b}$