Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. Решите уравнение:

1) $a^2x - b^2x = a^2 + 2ab + b^2$;

2) $3mx + 3nx = 6m^2 - 6n^2$;

3) $ax + x = a^2 + 2a + 1$;

4) $m^2x + 2mnx + n^2x = 3m^2 - 3n^2$.

1) $a^2x - b^2x = a^2 + 2ab + b^2$

Сначала преобразуем обе части уравнения. В левой части вынесем $x$ за скобки, а правую часть свернем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2$.

$x(a^2 - b^2) = (a + b)^2$

Теперь в левой части применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x(a - b)(a + b) = (a + b)^2$

Это линейное уравнение относительно $x$ с параметрами $a$ и $b$. Решение зависит от значений этих параметров. Рассмотрим различные случаи.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 - b^2 \neq 0$, что равносильно $a \neq b$ и $a \neq -b$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - b)(a + b)$: $x = \frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a+b}{a-b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю. Это возможно, если $a = b$ или $a = -b$.
- Если $a = -b$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (-b+b)^2$, то есть $0=0$. Это верное равенство, значит, $x$ - любое число.
- Если $a = b$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (a+a)^2$, то есть $0 = (2a)^2 = 4a^2$. Это равенство верно только при $a=0$. Если $a=b \neq 0$, то равенство $0=4a^2$ ложно, и уравнение не имеет решений. Случай $a=b=0$ уже учтен в условии $a=-b$.

Ответ: если $a \neq b$ и $a \neq -b$, то $x = \frac{a+b}{a-b}$; если $a = -b$, то $x$ - любое число; если $a = b \neq 0$, то корней нет.

2) $3mx + 3nx = 6m^2 - 6n^2$

В левой части вынесем за скобки общий множитель $3x$. В правой части вынесем $6$ и воспользуемся формулой разности квадратов.

$3x(m + n) = 6(m^2 - n^2)$

$3x(m + n) = 6(m - n)(m + n)$

Случай 1: $m + n \neq 0$, то есть $m \neq -n$.
Разделим обе части уравнения на $3(m + n)$: $x = \frac{6(m - n)(m + n)}{3(m + n)}$ $x = 2(m-n)$

Случай 2: $m + n = 0$, то есть $m = -n$.
Уравнение принимает вид $3x \cdot 0 = 6(m-n) \cdot 0$, что равносильно $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq -n$, то $x = 2(m-n)$; если $m = -n$, то $x$ - любое число.

3) $ax + x = a^2 + 2a + 1$

В левой части вынесем $x$ за скобки. Правую часть свернем по формуле квадрата суммы.

$x(a + 1) = (a + 1)^2$

Случай 1: $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.
Разделим обе части уравнения на $(a + 1)$: $x = \frac{(a + 1)^2}{a+1}$ $x = a + 1$

Случай 2: $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
Уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (-1+1)^2$, то есть $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq -1$, то $x = a+1$; если $a = -1$, то $x$ - любое число.

4) $m^2x + 2mnx + n^2x = 3m^2 - 3n^2$

В левой части вынесем $x$ за скобки, после чего свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы. В правой части вынесем $3$ и применим формулу разности квадратов.

$x(m^2 + 2mn + n^2) = 3(m^2 - n^2)$

$x(m + n)^2 = 3(m - n)(m + n)$

Случай 1: $m + n \neq 0$, то есть $m \neq -n$.
В этом случае $(m+n)^2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m+n)^2$: $x = \frac{3(m - n)(m + n)}{(m + n)^2}$ $x = \frac{3(m - n)}{m + n}$

Случай 2: $m + n = 0$, то есть $m = -n$.
Уравнение принимает вид $x \cdot 0^2 = 3(m-n) \cdot 0$, что равносильно $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq -n$, то $x = \frac{3(m-n)}{m+n}$; если $m = -n$, то $x$ - любое число.

6.28. Сократите дробь:

1) $ \frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4} $;

2) $ \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5} $;

3) $ \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7} $.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 + 5a + 6$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 6$.
Подбором находим корни: $a_1 = -2$ и $a_2 = -3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $a^2 + 5a + 6 = (a - a_1)(a - a_2) = (a - (-2))(a - (-3)) = (a + 2)(a + 3)$.

Разложим знаменатель $a^2 + 4a + 4$. Данное выражение является полным квадратом.
Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2 = (a+2)(a+2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4} = \frac{(a + 2)(a + 3)}{(a + 2)(a + 2)} = \frac{a + 3}{a + 2}$.

Ответ: $\frac{a + 3}{a + 2}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + 3x + 2$. Решим уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Разложение: $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 6x + 5$. Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Разложение: $x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x + 1)(x + 5)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:
$\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{x + 2}{x + 5}$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x + 5}$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $m^2 + 2m + 1$. Это выражение является полным квадратом.
Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 = (m+1)(m+1)$.

Разложим знаменатель $m^2 + 8m + 7$. Решим уравнение $m^2 + 8m + 7 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $m_1 + m_2 = -8$, а их произведение $m_1 \cdot m_2 = 7$.
Корни уравнения: $m_1 = -1$ и $m_2 = -7$.
Разложение: $m^2 + 8m + 7 = (m - (-1))(m - (-7)) = (m + 1)(m + 7)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(m+1)$:
$\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7} = \frac{(m + 1)(m + 1)}{(m + 1)(m + 7)} = \frac{m + 1}{m + 7}$.

Ответ: $\frac{m + 1}{m + 7}$

6.29. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 - 7a + 12}{a^2 - 6a + 9}$;

2) $\frac{2xy - x^2 - y^2 + a^2}{x^2 + a^2 - y^2 + 2ax}$;

3) $\frac{m^3 - m^2n + mn^2}{m^3 + n^3}$.

1) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 - 7a + 12}{a^2 - 6a + 9}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.
Для числителя $a^2 - 7a + 12$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни это 3 и 4. Таким образом, числитель можно разложить как $(a-3)(a-4)$.
Знаменатель $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности, который сворачивается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае это $(a-3)^2$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(a-3)(a-4)}{(a-3)^2}$
Сократим общий множитель $(a-3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$): $\frac{a-4}{a-3}$
Ответ: $\frac{a-4}{a-3}$

2) Для упрощения выражения $\frac{2xy - x^2 - y^2 + a^2}{x^2 + a^2 - y^2 + 2ax}$ сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе для применения формул сокращенного умножения.
В числителе: $2xy - x^2 - y^2 + a^2 = a^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$. Выражение в скобках — это полный квадрат $(x-y)^2$. Получаем разность квадратов $a^2 - (x-y)^2$, которую раскладываем как $(a-(x-y))(a+(x-y))$, что равно $(a-x+y)(a+x-y)$.
В знаменателе: $x^2 + a^2 - y^2 + 2ax$. Сгруппируем слагаемые иначе: $(x^2 + 2ax + a^2) - y^2$. Выражение в скобках — это полный квадрат $(x+a)^2$. Получаем разность квадратов $(x+a)^2 - y^2$, которую раскладываем как $((x+a)-y)((x+a)+y)$, что равно $(x+a-y)(x+a+y)$.
Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{(a-x+y)(a+x-y)}{(x+a-y)(x+a+y)}$
Сокращаем на общий множитель $(a+x-y)$: $\frac{a-x+y}{x+a+y}$
Ответ: $\frac{a-x+y}{a+x+y}$

3) Упростим дробь $\frac{m^3 - m^2n + mn^2}{m^3 + n^3}$.
В числителе $m^3 - m^2n + mn^2$ вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(m^2 - mn + n^2)$.
Знаменатель $m^3 + n^3$ — это формула суммы кубов, которая раскладывается как $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Применяя ее, получаем: $(m+n)(m^2 - mn + n^2)$.
Подставим разложенные части в дробь: $\frac{m(m^2 - mn + n^2)}{(m+n)(m^2 - mn + n^2)}$
Сократим общий множитель $(m^2 - mn + n^2)$. Этот множитель не равен нулю ни при каких действительных $m$ и $n$, не равных нулю одновременно.
$\frac{m}{m+n}$
Ответ: $\frac{m}{m+n}$