Страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.182. Постройте график уравнения:

1) $2x - y = 0$;

2) $x + 3y - 6.$

1) Чтобы построить график уравнения $2x - y = 0$, нужно понять, что это линейное уравнение, и его графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению.
Сначала выразим $y$ через $x$:
$2x - y = 0$
$y = 2x$
Теперь найдем две точки, выбрав произвольные значения для $x$.
1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка имеет координаты $(0, 0)$.
2. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 = 2$. Вторая точка имеет координаты $(1, 2)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$ и соединив их прямой линией, мы получим график уравнения $2x - y = 0$.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

2) Уравнение $x + 3y - 6 = 0$ также является линейным, и его график — прямая. Построим его, найдя координаты двух точек. Удобнее всего найти точки пересечения прямой с осями координат.
Сначала выразим $y$ через $x$:
$x + 3y - 6 = 0$
$3y = 6 - x$
$y = \frac{6 - x}{3}$ или $y = -\frac{1}{3}x + 2$
Теперь найдем точки пересечения с осями.
1. Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (ось ординат), подставим $x = 0$:
$y = -\frac{1}{3}(0) + 2 = 2$.
Получаем точку пересечения с осью $Oy$: $(0, 2)$.
2. Для нахождения точки пересечения с осью $Ox$ (ось абсцисс), подставим $y = 0$:
$0 = -\frac{1}{3}x + 2$
$\frac{1}{3}x = 2$
$x = 6$
Получаем точку пересечения с осью $Ox$: $(6, 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0, 2)$ и $(6, 0)$ и проведя через них прямую, мы получим график заданного уравнения.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(6, 0)$.

5.183. Дана таблица частот вариационного ряда:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline n_i & 4 & 7 & 6 & 3 \\ \hline \end{array}$

Найдите:

1) объем и размах выборки;

2) арифметическое среднее значение;

3) моду и медиану;

4) таблицу относительных частот. Постройте полигон частот.

1) объем и размах выборки
Объем выборки ($n$) — это общее количество наблюдений в выборке, которое находится как сумма всех частот ($n_i$).
$n = \sum n_i = 4 + 7 + 6 + 3 = 20$
Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в выборке.
$x_{max} = 6$
$x_{min} = 0$
$R = x_{max} - x_{min} = 6 - 0 = 6$
Ответ: Объем выборки равен 20, размах выборки равен 6.

2) арифметическое среднее значение
Арифметическое среднее значение для вариационного ряда ($\bar{x}$) вычисляется по формуле взвешенного среднего:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
где $x_i$ — значение варианты, $n_i$ — соответствующая частота, а $n$ — объем выборки.
Вычислим сумму произведений значений на их частоты:
$\sum x_i n_i = (0 \cdot 4) + (2 \cdot 7) + (4 \cdot 6) + (6 \cdot 3) = 0 + 14 + 24 + 18 = 56$
Подставим найденные значения в формулу:
$\bar{x} = \frac{56}{20} = 2.8$
Ответ: Арифметическое среднее значение равно 2.8.

3) моду и медиану
Мода ($M_o$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. В данной таблице наибольшая частота $n_i=7$ соответствует значению $x=2$.
$M_o = 2$
Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд на две равные по количеству элементов части.
Объем выборки $n = 20$ — четное число. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, номера которых вычисляются как $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.
Номера искомых элементов: $\frac{20}{2} = 10$-й и $\frac{20}{2} + 1 = 11$-й.
Для нахождения этих элементов проанализируем накопленные частоты:
- Значение 0 (частота 4): элементы с 1-го по 4-й.
- Значение 2 (частота 7): элементы с 5-го по 11-й ($4+7=11$).
- Значение 4 (частота 6): элементы с 12-го по 17-й ($11+6=17$).
- Значение 6 (частота 3): элементы с 18-го по 20-й ($17+3=20$).
Как видно, и 10-й, и 11-й элементы ряда равны 2.
$M_e = \frac{2 + 2}{2} = 2$
Ответ: Мода равна 2, медиана равна 2.

4) таблицу относительных частот
Относительная частота ($W_i$) — это отношение частоты варианты ($n_i$) к общему объему выборки ($n$). Вычисляется по формуле:
$W_i = \frac{n_i}{n}$
При объеме выборки $n=20$ рассчитаем относительные частоты для каждого значения:
- Для $x=0$: $W_1 = \frac{4}{20} = 0.20$
- Для $x=2$: $W_2 = \frac{7}{20} = 0.35$
- Для $x=4$: $W_3 = \frac{6}{20} = 0.30$
- Для $x=6$: $W_4 = \frac{3}{20} = 0.15$
Сумма относительных частот должна быть равна 1: $0.20 + 0.35 + 0.30 + 0.15 = 1.00$.
Ответ: Таблица относительных частот:

Постройте полигон частот
Полигон частот — это графическое представление вариационного ряда в виде ломаной линии, соединяющей точки с координатами $(x_i, n_i)$.
Для построения полигона необходимо:
1. В декартовой системе координат на горизонтальной оси (оси абсцисс) отложить значения вариант $x_i$.
2. На вертикальной оси (оси ординат) отложить соответствующие им частоты $n_i$.
3. Отметить на координатной плоскости точки с координатами: A(0; 4), B(2; 7), C(4; 6), D(6; 3).
4. Последовательно соединить эти точки отрезками прямой.
Полученная ломаная линия ABCD является искомым полигоном частот.
Ответ: Полигон частот — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 4), (2; 7), (4; 6), (6; 3).

5.184. Разложите выражение на множители:

1) $a^2 + 4ab + 4b^2 - (a + 2b)^3;$

2) $36u^2 - (2u - v)^2.$

5.185. Запишите члены последовательности в виде степени с основанием 3, найдите первый и последний члены этой последовательности:

$...; 9; 3; 1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; ...$

Запишите члены последовательности в виде степени с основанием 3

Данная последовательность является геометрической прогрессией. Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$. Чтобы представить члены последовательности в виде степени с основанием 3, воспользуемся свойствами степеней.

Представим каждый из указанных членов:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$3 = 3^1$
$1 = 3^0$, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Таким образом, последовательность можно записать в виде: $...; 3^3; 3^2; 3^1; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; ...$

Ответ: Члены последовательности в виде степени с основанием 3: $...; 3^2; 3^1; 3^0; 3^{-1}; 3^{-2}; ...$.

Найдите первый и последний члены этой последовательности

Многоточия (...) в начале и в конце записи последовательности указывают на то, что она является бесконечной в обе стороны (такие последовательности называют двусторонне бесконечными).

Влево от числа 9 последовательность продолжается членами с большими степенями: $3^3=27$, $3^4=81$ и так далее. Члены последовательности неограниченно возрастают.

Вправо от числа $\frac{1}{9}$ последовательность продолжается членами с меньшими (более отрицательными) степенями: $3^{-3}=\frac{1}{27}$, $3^{-4}=\frac{1}{81}$ и так далее. Члены последовательности неограниченно убывают, стремясь к нулю.

Поскольку последовательность бесконечна в обе стороны, у нее нет ни начального (первого), ни конечного (последнего) члена.

Ответ: У данной последовательности нет первого и последнего членов, так как она является бесконечной в обе стороны.

5.186. Найдите объем и размах, арифметическое среднее значение, моду и медиану выборки:

1) 11; 10; 8; 10; 8; 12; 11; 8;

2) -3; -5; 5; 1; 2; 4; 3; -1.

1) Дана выборка: 11; 10; 8; 10; 8; 12; 11; 8.

Для нахождения статистических характеристик сначала упорядочим выборку (расположим ее элементы в порядке возрастания):

8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 12.

Объем выборки — это количество элементов в выборке. В данной выборке 8 элементов.

Размах выборки — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.
Максимальное значение $x_{max} = 12$.
Минимальное значение $x_{min} = 8$.
Размах = $x_{max} - x_{min} = 12 - 8 = 4$.

Арифметическое среднее значение — это сумма всех элементов выборки, деленная на их количество.
Сумма элементов: $11 + 10 + 8 + 10 + 8 + 12 + 11 + 8 = 78$.
Количество элементов (объем): 8.
Арифметическое среднее: $\frac{78}{8} = 9.75$.

Мода выборки — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
В упорядоченном ряду (8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 12) число 8 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое число.
Следовательно, мода равна 8.

Медиана выборки — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные по количеству элементов части.
Так как в выборке четное число элементов (8), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (4-го и 5-го).
4-й элемент = 10, 5-й элемент = 10.
Медиана = $\frac{10 + 10}{2} = 10$.

Ответ: объем — 8, размах — 4, арифметическое среднее значение — 9.75, мода — 8, медиана — 10.

2) Дана выборка: -3; -5; 5; 1; 2; 4; 3; -1.

Упорядочим выборку по возрастанию:

-5, -3, -1, 1, 2, 3, 4, 5.

Объем выборки — количество элементов в ряду. Объем равен 8.

Размах выборки:
Максимальное значение $x_{max} = 5$.
Минимальное значение $x_{min} = -5$.
Размах = $x_{max} - x_{min} = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10$.

Арифметическое среднее значение:
Сумма элементов: $(-3) + (-5) + 5 + 1 + 2 + 4 + 3 + (-1) = 6$.
Количество элементов: 8.
Арифметическое среднее: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Мода выборки: в данной выборке все значения встречаются только один раз, поэтому моды нет.

Медиана выборки: так как в выборке четное число элементов (8), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (4-го и 5-го).
4-й элемент = 1, 5-й элемент = 2.
Медиана = $\frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: объем — 8, размах — 10, арифметическое среднее значение — 0.75, моды нет, медиана — 1.5.