Номер 5.183, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.183. Дана таблица частот вариационного ряда:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline n_i & 4 & 7 & 6 & 3 \\ \hline \end{array}$

Найдите:

1) объем и размах выборки;

2) арифметическое среднее значение;

3) моду и медиану;

4) таблицу относительных частот. Постройте полигон частот.

1) объем и размах выборки
Объем выборки ($n$) — это общее количество наблюдений в выборке, которое находится как сумма всех частот ($n_i$).
$n = \sum n_i = 4 + 7 + 6 + 3 = 20$
Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в выборке.
$x_{max} = 6$
$x_{min} = 0$
$R = x_{max} - x_{min} = 6 - 0 = 6$
Ответ: Объем выборки равен 20, размах выборки равен 6.

2) арифметическое среднее значение
Арифметическое среднее значение для вариационного ряда ($\bar{x}$) вычисляется по формуле взвешенного среднего:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
где $x_i$ — значение варианты, $n_i$ — соответствующая частота, а $n$ — объем выборки.
Вычислим сумму произведений значений на их частоты:
$\sum x_i n_i = (0 \cdot 4) + (2 \cdot 7) + (4 \cdot 6) + (6 \cdot 3) = 0 + 14 + 24 + 18 = 56$
Подставим найденные значения в формулу:
$\bar{x} = \frac{56}{20} = 2.8$
Ответ: Арифметическое среднее значение равно 2.8.

3) моду и медиану
Мода ($M_o$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. В данной таблице наибольшая частота $n_i=7$ соответствует значению $x=2$.
$M_o = 2$
Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд на две равные по количеству элементов части.
Объем выборки $n = 20$ — четное число. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, номера которых вычисляются как $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.
Номера искомых элементов: $\frac{20}{2} = 10$-й и $\frac{20}{2} + 1 = 11$-й.
Для нахождения этих элементов проанализируем накопленные частоты:
- Значение 0 (частота 4): элементы с 1-го по 4-й.
- Значение 2 (частота 7): элементы с 5-го по 11-й ($4+7=11$).
- Значение 4 (частота 6): элементы с 12-го по 17-й ($11+6=17$).
- Значение 6 (частота 3): элементы с 18-го по 20-й ($17+3=20$).
Как видно, и 10-й, и 11-й элементы ряда равны 2.
$M_e = \frac{2 + 2}{2} = 2$
Ответ: Мода равна 2, медиана равна 2.

4) таблицу относительных частот
Относительная частота ($W_i$) — это отношение частоты варианты ($n_i$) к общему объему выборки ($n$). Вычисляется по формуле:
$W_i = \frac{n_i}{n}$
При объеме выборки $n=20$ рассчитаем относительные частоты для каждого значения:
- Для $x=0$: $W_1 = \frac{4}{20} = 0.20$
- Для $x=2$: $W_2 = \frac{7}{20} = 0.35$
- Для $x=4$: $W_3 = \frac{6}{20} = 0.30$
- Для $x=6$: $W_4 = \frac{3}{20} = 0.15$
Сумма относительных частот должна быть равна 1: $0.20 + 0.35 + 0.30 + 0.15 = 1.00$.
Ответ: Таблица относительных частот:

Постройте полигон частот
Полигон частот — это графическое представление вариационного ряда в виде ломаной линии, соединяющей точки с координатами $(x_i, n_i)$.
Для построения полигона необходимо:
1. В декартовой системе координат на горизонтальной оси (оси абсцисс) отложить значения вариант $x_i$.
2. На вертикальной оси (оси ординат) отложить соответствующие им частоты $n_i$.
3. Отметить на координатной плоскости точки с координатами: A(0; 4), B(2; 7), C(4; 6), D(6; 3).
4. Последовательно соединить эти точки отрезками прямой.
Полученная ломаная линия ABCD является искомым полигоном частот.
Ответ: Полигон частот — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 4), (2; 7), (4; 6), (6; 3).