Номер 5.181, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.181. Обратите число в бесконечную периодическую дробь и округлите ее с точностью до 0,001. Найдите относительную погрешность приближенного значения:

1) $1\frac{1}{3}$;

2) $\frac{3}{7}$;

3) $2\frac{4}{11}$;

4) $5\frac{7}{12}$.

1) $1\frac{1}{3}$

1. Сначала обратим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в бесконечную периодическую дробь. Для этого переведем его в неправильную дробь и выполним деление числителя на знаменатель:
Точное значение: $x = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1.333... = 1.(3)$.

2. Теперь округлим полученную дробь с точностью до 0,001 (до третьего знака после запятой). Смотрим на четвертую цифру после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону (отбрасываем все цифры после третьей).
Приближенное значение: $x_a \approx 1.333$.

3. Найдем относительную погрешность приближенного значения. Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta x}{|x|}$, где $\Delta x = |x - x_a|$ - абсолютная погрешность.
Сначала вычислим абсолютную погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{4}{3} - 1.333| = |\frac{4}{3} - \frac{1333}{1000}| = |\frac{4 \cdot 1000 - 1333 \cdot 3}{3000}| = |\frac{4000 - 3999}{3000}| = \frac{1}{3000}$.
Теперь вычислим относительную погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{1/3000}{4/3} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12000} = \frac{1}{4000}$.

Ответ: $1.(3)$; $1.333$; $\frac{1}{4000}$.

2) $\frac{3}{7}$

1. Обратим обыкновенную дробь $\frac{3}{7}$ в бесконечную периодическую дробь путем деления:
Точное значение: $x = \frac{3}{7} = 0.428571428... = 0.(428571)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону (увеличиваем третью цифру на 1).
Приближенное значение: $x_a \approx 0.429$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{3}{7} - 0.429| = |\frac{3}{7} - \frac{429}{1000}| = |\frac{3 \cdot 1000 - 429 \cdot 7}{7000}| = |\frac{3000 - 3003}{7000}| = |-\frac{3}{7000}| = \frac{3}{7000}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{3/7000}{3/7} = \frac{3}{7000} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{21000} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $0.(428571)$; $0.429$; $\frac{1}{1000}$.

3) $2\frac{4}{11}$

1. Обратим смешанное число $2\frac{4}{11}$ в бесконечную периодическую дробь:
Точное значение: $x = 2\frac{4}{11} = \frac{26}{11} = 2.363636... = 2.(36)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону.
Приближенное значение: $x_a \approx 2.364$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{26}{11} - 2.364| = |\frac{26}{11} - \frac{2364}{1000}| = |\frac{26 \cdot 1000 - 2364 \cdot 11}{11000}| = |\frac{26000 - 26004}{11000}| = |-\frac{4}{11000}| = \frac{4}{11000} = \frac{1}{2750}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{4/11000}{26/11} = \frac{4}{11000} \cdot \frac{11}{26} = \frac{44}{286000} = \frac{1}{6500}$.

Ответ: $2.(36)$; $2.364$; $\frac{1}{6500}$.

4) $5\frac{7}{12}$

1. Обратим смешанное число $5\frac{7}{12}$ в бесконечную периодическую дробь:
Точное значение: $x = 5\frac{7}{12} = \frac{67}{12} = 5.58333... = 5.58(3)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону.
Приближенное значение: $x_a \approx 5.583$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{67}{12} - 5.583| = |\frac{67}{12} - \frac{5583}{1000}|$. Найдем общий знаменатель, который равен НОК(12, 1000) = 3000.
$\Delta x = |\frac{67 \cdot 250}{3000} - \frac{5583 \cdot 3}{3000}| = |\frac{16750 - 16749}{3000}| = \frac{1}{3000}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{1/3000}{67/12} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{12}{67} = \frac{12}{201000} = \frac{1}{16750}$.

Ответ: $5.58(3)$; $5.583$; $\frac{1}{16750}$.