Номер 5.174, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.174. Расстояние между населенными пунктами А и В по течению реки катер прошел за 5 ч 30 мин, а плот – за 71 ч 30 мин. Катер вернулся обратно за 6 ч 30 мин. Каково расстояние между населенными пунктами А и В?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – искомое расстояние между населенными пунктами А и В (в км).
• $v_к$ – собственная скорость катера (в км/ч).
• $v_р$ – скорость течения реки (в км/ч).

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_р$.

Скорость катера по течению реки равна $v_к + v_р$.

Скорость катера против течения реки равна $v_к - v_р$.

Переведем время в часы:

• Время движения катера по течению: 5 ч 30 мин = $5.5$ ч.
• Время движения плота по течению: 71 ч 30 мин = $71.5$ ч.
• Время движения катера против течения: 6 ч 30 мин = $6.5$ ч.

На основе этих данных составим систему уравнений, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

1. $S = (v_к + v_р) \cdot 5.5$
2. $S = v_р \cdot 71.5$
3. $S = (v_к - v_р) \cdot 6.5$

Из первого и третьего уравнений выразим скорости движения катера по течению и против течения:

$v_к + v_р = \frac{S}{5.5}$

$v_к - v_р = \frac{S}{6.5}$

Теперь найдем соотношение между собственной скоростью катера и скоростью течения реки. Для этого разделим одно выражение на другое. Сначала сложим их, а затем вычтем одно из другого:

$(v_к + v_р) + (v_к - v_р) = \frac{S}{5.5} + \frac{S}{6.5} \implies 2v_к = S(\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5})$

$(v_к + v_р) - (v_к - v_р) = \frac{S}{5.5} - \frac{S}{6.5} \implies 2v_р = S(\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5})$

Разделим первое полученное уравнение на второе:

$\frac{2v_к}{2v_р} = \frac{S(\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5})}{S(\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5})}$

$\frac{v_к}{v_р} = \frac{\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5}}{\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5}} = \frac{\frac{2}{11} + \frac{2}{13}}{\frac{2}{11} - \frac{2}{13}} = \frac{\frac{2(13+11)}{11 \cdot 13}}{\frac{2(13-11)}{11 \cdot 13}} = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, мы выяснили, что собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки: $v_к = 12v_р$.

Теперь подставим это соотношение в уравнения для расстояния $S$.

Используем первое уравнение (движение катера по течению):

$S = (v_к + v_р) \cdot 5.5 = (12v_р + v_р) \cdot 5.5 = 13v_р \cdot 5.5 = 71.5 v_р$

Теперь проверим это с помощью третьего уравнения (движение катера против течения):

$S = (v_к - v_р) \cdot 6.5 = (12v_р - v_р) \cdot 6.5 = 11v_р \cdot 6.5 = 71.5 v_р$

И, наконец, посмотрим на второе уравнение (движение плота):

$S = v_р \cdot 71.5$

Все три условия задачи приводят к одному и тому же уравнению: $S = 71.5 v_р$. Это уравнение содержит две неизвестные величины: расстояние $S$ и скорость течения реки $v_р$. Поскольку в задаче не дано никаких дополнительных данных, которые позволили бы определить скорость течения реки, найти единственное численное значение для расстояния $S$ невозможно. Данные в задаче являются зависимыми (время движения плота можно вычислить, зная время движения катера, и наоборот), что не позволяет составить систему с единственным решением относительно $S$.

Ответ: На основании предоставленных данных однозначно определить расстояние между населенными пунктами А и В невозможно.