Номер 5.171, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.171. Отцу 40, а его сыновьям Асану и Усену 12 лет и 8 лет соответственно. Найдите неизвестные величины с помощью составления математической модели задачи при условии:

1) спустя $x$ лет возраст отца будет вдвое больше возраста Асана;

2) спустя $y$ лет возраст отца будет вдвое больше возраста Усена;

3) спустя $t$ лет возраст отца будет равен сумме возрастов его сыновей;

4) $n$ лет назад возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана.

1) спустя x лет возраст отца будет вдвое больше возраста Асана;

В настоящее время отцу 40 лет, а Асану 12 лет.
Через $x$ лет возраст отца составит $40 + x$ лет, а возраст Асана составит $12 + x$ лет.
Согласно условию задачи, возраст отца будет вдвое больше возраста Асана. Составим математическую модель (уравнение):
$40 + x = 2 \cdot (12 + x)$
Решим это уравнение:
$40 + x = 24 + 2x$
$40 - 24 = 2x - x$
$16 = x$
Проверка: через 16 лет отцу будет $40 + 16 = 56$ лет, а Асану $12 + 16 = 28$ лет. $56 = 2 \cdot 28$, что соответствует условию.
Ответ: $x = 16$.

2) спустя y лет возраст отца будет вдвое больше возраста Усена;

В настоящее время отцу 40 лет, а Усену 8 лет.
Через $y$ лет возраст отца будет $40 + y$ лет, а возраст Усена — $8 + y$ лет.
Составим уравнение на основе условия, что возраст отца будет вдвое больше возраста Усена:
$40 + y = 2 \cdot (8 + y)$
Решим уравнение:
$40 + y = 16 + 2y$
$40 - 16 = 2y - y$
$24 = y$
Проверка: через 24 года отцу будет $40 + 24 = 64$ года, а Усену $8 + 24 = 32$ года. $64 = 2 \cdot 32$, что соответствует условию.
Ответ: $y = 24$.

3) спустя t лет возраст отца будет равен сумме возрастов его сыновей;

Через $t$ лет возраст отца будет $40 + t$ лет.
Возраст Асана через $t$ лет будет $12 + t$ лет, а возраст Усена — $8 + t$ лет.
Сумма возрастов сыновей через $t$ лет будет $(12 + t) + (8 + t)$.
Составим уравнение, приравняв возраст отца к сумме возрастов сыновей:
$40 + t = (12 + t) + (8 + t)$
Решим уравнение:
$40 + t = 20 + 2t$
$40 - 20 = 2t - t$
$20 = t$
Проверка: через 20 лет отцу будет $40 + 20 = 60$ лет. Асану будет $12 + 20 = 32$ года, Усену — $8 + 20 = 28$ лет. Сумма их возрастов: $32 + 28 = 60$ лет, что равно возрасту отца.
Ответ: $t = 20$.

4) n лет назад возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана.

$n$ лет назад возраст отца был $40 - n$ лет, а возраст Асана — $12 - n$ лет.
Согласно условию, возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана. Составим уравнение:
$40 - n = 4 \cdot (12 - n)$
Решим уравнение:
$40 - n = 48 - 4n$
$4n - n = 48 - 40$
$3n = 8$
$n = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Проверка: $2\frac{2}{3}$ года назад (2 года и 8 месяцев) отцу было $40 - \frac{8}{3} = \frac{120 - 8}{3} = \frac{112}{3}$ лет. Асану было $12 - \frac{8}{3} = \frac{36 - 8}{3} = \frac{28}{3}$ лет. Проверим отношение их возрастов: $\frac{112}{3} \div \frac{28}{3} = \frac{112}{28} = 4$. Условие выполняется.
Ответ: $n = \frac{8}{3}$.