Номер 5.172, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.172. Ширина прямоугольника составляет 40% его длины. Если его длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 4 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади данного прямоугольника. Найдите измерения первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ — длина первоначального прямоугольника в сантиметрах, а $w$ — его ширина в сантиметрах.

Согласно условию задачи, ширина составляет 40% его длины. Это можно записать в виде уравнения:
$w = 0.4 \times l$

Площадь первоначального прямоугольника $S_1$ равна:
$S_1 = l \times w$

Далее, длину прямоугольника уменьшают на 2 см, а ширину увеличивают на 4 см. Новые размеры будут:
Новая длина: $l' = l - 2$
Новая ширина: $w' = w + 4$

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:
$S_2 = (l - 2)(w + 4)$

По условию, площади обоих прямоугольников равны, то есть $S_1 = S_2$:
$l \times w = (l - 2)(w + 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$lw = lw + 4l - 2w - 8$

Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения:
$0 = 4l - 2w - 8$

Перенесем 8 в левую часть:
$4l - 2w = 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $w = 0.4l$
2) $4l - 2w = 8$

Подставим выражение для $w$ из первого уравнения во второе:
$4l - 2(0.4l) = 8$
$4l - 0.8l = 8$
$3.2l = 8$

Теперь найдем длину $l$:
$l = \frac{8}{3.2} = \frac{80}{32} = \frac{16 \times 5}{16 \times 2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Зная длину, найдем ширину $w$, используя первое уравнение:
$w = 0.4 \times l = 0.4 \times 2.5 = 1$ см.

Таким образом, измерения первоначального прямоугольника: длина — 2,5 см, ширина — 1 см.

Проверка:
Площадь исходного прямоугольника: $S_1 = 2.5 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 2.5 \text{ см}^2$.
Новые размеры: длина $2.5 - 2 = 0.5$ см, ширина $1 + 4 = 5$ см.
Площадь нового прямоугольника: $S_2 = 0.5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 2.5 \text{ см}^2$.
Площади равны, следовательно, решение верное.

Ответ: длина первоначального прямоугольника равна 2,5 см, а ширина — 1 см.