Страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.166. Найдите значения a так, чтобы число:

1) 4

2) –5

3) 0

4) 1

было корнем уравнения

$\frac{x+3}{2} = \frac{3x}{7} - a.$

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором заданное число является корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной x в исходное уравнение и решить полученное уравнение относительно a.

Исходное уравнение: $ \frac{x+3}{2} = \frac{3x}{7} - a $.

Для удобства вычислений выразим a из этого уравнения:

$ a = \frac{3x}{7} - \frac{x+3}{2} $.

1) Найдем значение a, если корень уравнения x = 4.

Подставляем x = 4 в выражение для a:

$ a = \frac{3 \cdot 4}{7} - \frac{4+3}{2} = \frac{12}{7} - \frac{7}{2} $

Приводим дроби к общему знаменателю 14:

$ a = \frac{12 \cdot 2}{14} - \frac{7 \cdot 7}{14} = \frac{24}{14} - \frac{49}{14} = \frac{24 - 49}{14} = -\frac{25}{14} $

Ответ: $ a = - \frac{25}{14} $.

2) Найдем значение a, если корень уравнения x = -5.

Подставляем x = -5 в выражение для a:

$ a = \frac{3 \cdot (-5)}{7} - \frac{-5+3}{2} = \frac{-15}{7} - \frac{-2}{2} = -\frac{15}{7} - (-1) $

$ a = -\frac{15}{7} + 1 = -\frac{15}{7} + \frac{7}{7} = \frac{-15+7}{7} = -\frac{8}{7} $

Ответ: $ a = - \frac{8}{7} $.

3) Найдем значение a, если корень уравнения x = 0.

Подставляем x = 0 в выражение для a:

$ a = \frac{3 \cdot 0}{7} - \frac{0+3}{2} = 0 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} $

Ответ: $ a = - \frac{3}{2} $.

4) Найдем значение a, если корень уравнения x = 1.

Подставляем x = 1 в выражение для a:

$ a = \frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{1+3}{2} = \frac{3}{7} - \frac{4}{2} = \frac{3}{7} - 2 $

Приводим к общему знаменателю 7:

$ a = \frac{3}{7} - \frac{2 \cdot 7}{7} = \frac{3}{7} - \frac{14}{7} = \frac{3-14}{7} = -\frac{11}{7} $

Ответ: $ a = - \frac{11}{7} $.

5.167. Найдите значения m так, чтобы промежутки:

1) $(5; +\infty)$;

2) $(-2; +\infty)$;

3) $(0; +\infty)$ были решениями неравенства $4(x - 7) > 3x + 5 + m$.

Для начала преобразуем данное неравенство, чтобы найти его общее решение относительно переменной $x$.

Исходное неравенство:

$4(x - 7) > 3x + 5 + m$

Раскроем скобки в левой части:

$4x - 28 > 3x + 5 + m$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а остальные слагаемые — в правую часть:

$4x - 3x > 28 + 5 + m$

Упростим обе части неравенства:

$x > 33 + m$

Таким образом, решением неравенства является открытый числовой луч (промежуток) $(33 + m; +∞)$.

Теперь найдем, при каких значениях $m$ этот промежуток совпадает с каждым из заданных в условии.

1) Промежуток $(5; +∞)$

Чтобы решением неравенства был промежуток $(5; +∞)$, необходимо, чтобы промежутки $(33 + m; +∞)$ и $(5; +∞)$ были идентичны. Это возможно только в том случае, если их левые границы равны.

Приравняем левые границы:

$33 + m = 5$

Найдем $m$:

$m = 5 - 33$

$m = -28$

Ответ: $m = -28$.

2) Промежуток $(-2; +∞)$

Чтобы решением неравенства был промежуток $(-2; +∞)$, необходимо, чтобы промежутки $(33 + m; +∞)$ и $(-2; +∞)$ совпадали. Приравняем их левые границы.

$33 + m = -2$

Найдем $m$:

$m = -2 - 33$

$m = -35$

Ответ: $m = -35$.

3) Промежуток $(0; +∞)$

Чтобы решением неравенства был промежуток $(0; +∞)$, необходимо, чтобы промежутки $(33 + m; +∞)$ и $(0; +∞)$ совпадали. Приравняем их левые границы.

$33 + m = 0$

Найдем $m$:

$m = -33$

Ответ: $m = -33$.

5.168. Рабочий ежедневно на станке обрабатывал 16 деталей. После приобретения в цех управляемого компьютером оборудования, он начал обрабатывать по 24 детали в день и месячную норму сделал на 8 дней раньше срока. Сколько деталей рабочий должен был обрабатывать за месяц?

Для решения этой задачи составим уравнение, основываясь на данных об объеме работы, производительности и времени.

Пусть $x$ – это плановое количество дней, за которое рабочий должен был выполнить месячную норму.

Изначальная производительность рабочего составляла 16 деталей в день. Следовательно, месячная норма (общее количество деталей) равна:

$N = 16 \cdot x$

После установки нового оборудования производительность выросла до 24 деталей в день. Рабочий выполнил ту же норму, но сделал это на 8 дней раньше срока. Это означает, что он потратил на работу $x - 8$ дней. Таким образом, месячную норму можно также выразить как:

$N = 24 \cdot (x - 8)$

Поскольку общее количество деталей (норма $N$) в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части двух уравнений:

$16x = 24(x - 8)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти плановое количество дней $x$:

Раскроем скобки:

$16x = 24x - 192$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$24x - 16x = 192$

$8x = 192$

$x = \frac{192}{8}$

$x = 24$

Итак, по плану рабочий должен был выполнить норму за 24 дня.

Теперь найдем, сколько всего деталей составляет месячная норма, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$N = 16 \cdot x = 16 \cdot 24 = 384$

Проверим, подставив $x$ во второе уравнение:

$N = 24 \cdot (24 - 8) = 24 \cdot 16 = 384$

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: рабочий должен был обрабатывать за месяц 384 детали.

5.169. Если отнять 3 из удвоенной суммы крайних чисел, из трех последовательных четных чисел, получим число, равное 29. Найдите среднее из чисел.

Для решения задачи введем переменную. Пусть среднее из трех последовательных четных чисел равно $x$. Поскольку числа являются последовательными четными, каждое следующее число больше предыдущего на 2. Следовательно, меньшее из этих чисел можно записать как $x-2$, а большее — как $x+2$.

Таким образом, мы имеем три последовательных четных числа: $x-2$, $x$, $x+2$.

Крайними числами в этой последовательности являются первое и третье: $x-2$ и $x+2$.

Согласно условию, найдем сумму крайних чисел:
$(x-2) + (x+2) = x - 2 + x + 2 = 2x$

Теперь удвоим эту сумму:
$2 \cdot (2x) = 4x$

В условии сказано, что если отнять 3 из удвоенной суммы крайних чисел, то получится 29. На основе этого составим уравнение:
$4x - 3 = 29$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$, которое и является средним числом:
$4x = 29 + 3$
$4x = 32$
$x = \frac{32}{4}$
$x = 8$

Итак, среднее из трех чисел равно 8.

Выполним проверку. Если среднее число 8, то искомые числа — это 6, 8, 10.
Сумма крайних чисел: $6 + 10 = 16$.
Удвоенная сумма крайних чисел: $2 \cdot 16 = 32$.
Отнимем 3: $32 - 3 = 29$.
Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 8

5.170. На одном складе объем имеющегося там зерна в 2 раза больше, чем на другом складе. После того как с I-го склада вывезли 80 т зерна, а на второй склад завезли 40 т зерна, на обоих складах зерна стало поровну. Сколько тонн зерна было на складах первоначально?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это первоначальное количество зерна на втором складе в тоннах.

Согласно условию, на первом складе было в 2 раза больше зерна, чем на втором. Значит, на первом складе было $2x$ тонн зерна.

После того как с первого склада вывезли 80 тонн, количество зерна на нем стало равно $(2x - 80)$ тонн.

На второй склад завезли 40 тонн, и количество зерна на нем стало равно $(x + 40)$ тонн.

По условию, после этих изменений количество зерна на обоих складах стало одинаковым. Мы можем составить уравнение:

$2x - 80 = x + 40$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую часть уравнения:

$2x - x = 40 + 80$

$x = 120$

Мы нашли, что $x = 120$ тонн — это первоначальное количество зерна на втором складе.

Теперь найдем первоначальное количество зерна на первом складе:

$2x = 2 \cdot 120 = 240$ тонн.

Таким образом, первоначально на первом складе было 240 тонн зерна, а на втором — 120 тонн.

Ответ: первоначально на первом складе было 240 тонн зерна, а на втором — 120 тонн.

5.171. Отцу 40, а его сыновьям Асану и Усену 12 лет и 8 лет соответственно. Найдите неизвестные величины с помощью составления математической модели задачи при условии:

1) спустя $x$ лет возраст отца будет вдвое больше возраста Асана;

2) спустя $y$ лет возраст отца будет вдвое больше возраста Усена;

3) спустя $t$ лет возраст отца будет равен сумме возрастов его сыновей;

4) $n$ лет назад возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана.

1) спустя x лет возраст отца будет вдвое больше возраста Асана;

В настоящее время отцу 40 лет, а Асану 12 лет.
Через $x$ лет возраст отца составит $40 + x$ лет, а возраст Асана составит $12 + x$ лет.
Согласно условию задачи, возраст отца будет вдвое больше возраста Асана. Составим математическую модель (уравнение):
$40 + x = 2 \cdot (12 + x)$
Решим это уравнение:
$40 + x = 24 + 2x$
$40 - 24 = 2x - x$
$16 = x$
Проверка: через 16 лет отцу будет $40 + 16 = 56$ лет, а Асану $12 + 16 = 28$ лет. $56 = 2 \cdot 28$, что соответствует условию.
Ответ: $x = 16$.

2) спустя y лет возраст отца будет вдвое больше возраста Усена;

В настоящее время отцу 40 лет, а Усену 8 лет.
Через $y$ лет возраст отца будет $40 + y$ лет, а возраст Усена — $8 + y$ лет.
Составим уравнение на основе условия, что возраст отца будет вдвое больше возраста Усена:
$40 + y = 2 \cdot (8 + y)$
Решим уравнение:
$40 + y = 16 + 2y$
$40 - 16 = 2y - y$
$24 = y$
Проверка: через 24 года отцу будет $40 + 24 = 64$ года, а Усену $8 + 24 = 32$ года. $64 = 2 \cdot 32$, что соответствует условию.
Ответ: $y = 24$.

3) спустя t лет возраст отца будет равен сумме возрастов его сыновей;

Через $t$ лет возраст отца будет $40 + t$ лет.
Возраст Асана через $t$ лет будет $12 + t$ лет, а возраст Усена — $8 + t$ лет.
Сумма возрастов сыновей через $t$ лет будет $(12 + t) + (8 + t)$.
Составим уравнение, приравняв возраст отца к сумме возрастов сыновей:
$40 + t = (12 + t) + (8 + t)$
Решим уравнение:
$40 + t = 20 + 2t$
$40 - 20 = 2t - t$
$20 = t$
Проверка: через 20 лет отцу будет $40 + 20 = 60$ лет. Асану будет $12 + 20 = 32$ года, Усену — $8 + 20 = 28$ лет. Сумма их возрастов: $32 + 28 = 60$ лет, что равно возрасту отца.
Ответ: $t = 20$.

4) n лет назад возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана.

$n$ лет назад возраст отца был $40 - n$ лет, а возраст Асана — $12 - n$ лет.
Согласно условию, возраст отца был в 4 раза больше возраста Асана. Составим уравнение:
$40 - n = 4 \cdot (12 - n)$
Решим уравнение:
$40 - n = 48 - 4n$
$4n - n = 48 - 40$
$3n = 8$
$n = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Проверка: $2\frac{2}{3}$ года назад (2 года и 8 месяцев) отцу было $40 - \frac{8}{3} = \frac{120 - 8}{3} = \frac{112}{3}$ лет. Асану было $12 - \frac{8}{3} = \frac{36 - 8}{3} = \frac{28}{3}$ лет. Проверим отношение их возрастов: $\frac{112}{3} \div \frac{28}{3} = \frac{112}{28} = 4$. Условие выполняется.
Ответ: $n = \frac{8}{3}$.

5.172. Ширина прямоугольника составляет 40% его длины. Если его длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 4 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади данного прямоугольника. Найдите измерения первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ — длина первоначального прямоугольника в сантиметрах, а $w$ — его ширина в сантиметрах.

Согласно условию задачи, ширина составляет 40% его длины. Это можно записать в виде уравнения:
$w = 0.4 \times l$

Площадь первоначального прямоугольника $S_1$ равна:
$S_1 = l \times w$

Далее, длину прямоугольника уменьшают на 2 см, а ширину увеличивают на 4 см. Новые размеры будут:
Новая длина: $l' = l - 2$
Новая ширина: $w' = w + 4$

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:
$S_2 = (l - 2)(w + 4)$

По условию, площади обоих прямоугольников равны, то есть $S_1 = S_2$:
$l \times w = (l - 2)(w + 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$lw = lw + 4l - 2w - 8$

Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения:
$0 = 4l - 2w - 8$

Перенесем 8 в левую часть:
$4l - 2w = 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $w = 0.4l$
2) $4l - 2w = 8$

Подставим выражение для $w$ из первого уравнения во второе:
$4l - 2(0.4l) = 8$
$4l - 0.8l = 8$
$3.2l = 8$

Теперь найдем длину $l$:
$l = \frac{8}{3.2} = \frac{80}{32} = \frac{16 \times 5}{16 \times 2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Зная длину, найдем ширину $w$, используя первое уравнение:
$w = 0.4 \times l = 0.4 \times 2.5 = 1$ см.

Таким образом, измерения первоначального прямоугольника: длина — 2,5 см, ширина — 1 см.

Проверка:
Площадь исходного прямоугольника: $S_1 = 2.5 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 2.5 \text{ см}^2$.
Новые размеры: длина $2.5 - 2 = 0.5$ см, ширина $1 + 4 = 5$ см.
Площадь нового прямоугольника: $S_2 = 0.5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 2.5 \text{ см}^2$.
Площади равны, следовательно, решение верное.

Ответ: длина первоначального прямоугольника равна 2,5 см, а ширина — 1 см.

5.173. В дистиллированную воду добавили 150 г соли и получили 10% раствора соли. Найдите количество воды. В какое количество воды нужно добавить 150 г соли, чтобы получить 25% раствора соли?

Найдите количество воды.

Концентрация (массовая доля) соли в растворе вычисляется по формуле:
$w_{соли} = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}}$
где $m_{соли}$ – это масса соли, а $m_{раствора}$ – это общая масса раствора.

Общая масса раствора складывается из массы соли и массы воды:
$m_{раствора} = m_{соли} + m_{воды}$

Согласно условию первой части задачи, у нас есть:
– масса соли $m_{соли} = 150$ г;
– концентрация раствора $w_{соли} = 10\%$ или в долях $0.1$.

Пусть $x$ – это искомое количество воды в граммах. Тогда масса всего раствора будет равна $150 + x$ г. Подставим все известные значения в формулу концентрации:
$0.1 = \frac{150}{150 + x}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$0.1 \times (150 + x) = 150$
$15 + 0.1x = 150$
$0.1x = 150 - 15$
$0.1x = 135$
$x = \frac{135}{0.1}$
$x = 1350$ г.

Таким образом, для получения 10% раствора соли было использовано 1350 г воды.
Ответ: 1350 г.

В какое количество воды нужно добавить 150 г соли, чтобы получить 25% раствора соли?

Во второй части задачи мы используем тот же подход, но с новой концентрацией раствора.
Дано:
– масса соли $m_{соли} = 150$ г;
– требуемая концентрация раствора $w_{соли} = 25\%$ или в долях $0.25$.

Пусть $y$ – это новое количество воды, необходимое для получения 25% раствора. Тогда масса нового раствора будет $150 + y$ г. Составим уравнение по той же формуле:
$0.25 = \frac{150}{150 + y}$

Решим это уравнение относительно $y$:
$0.25 \times (150 + y) = 150$
$37.5 + 0.25y = 150$
$0.25y = 150 - 37.5$
$0.25y = 112.5$
$y = \frac{112.5}{0.25}$
$y = 450$ г.

Следовательно, чтобы получить 25% раствор, нужно добавить 150 г соли в 450 г воды.
Ответ: 450 г.