Страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.140. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^4-8(a-2b);$

2) $(x-3y)^4-27x+81y;$

3) $(a-2b)^3-(a+2b)^3;$

4) $(2x+3y)^3+(3x-2y)^3.$

1) $(a-2b)^4-8(a-2b)$

Вынесем общий множитель $(a-2b)$ за скобки:

$(a-2b)((a-2b)^3-8)$

Выражение в скобках представляет собой разность кубов, так как $8 = 2^3$. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a-2b$ и $y = 2$.

$(a-2b)^3-2^3 = ((a-2b)-2)((a-2b)^2+(a-2b) \cdot 2+2^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

Ответ: $(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

2) $(x-3y)^4-27x+81y$

Сначала преобразуем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $-27$:

$-27x+81y = -27(x-3y)$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$(x-3y)^4-27(x-3y)$

Вынесем общий множитель $(x-3y)$ за скобки:

$(x-3y)((x-3y)^3-27)$

Выражение в скобках является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x-3y$ и $b = 3$.

$(x-3y)^3-3^3 = ((x-3y)-3)((x-3y)^2+(x-3y) \cdot 3+3^2)$

Раскроем скобки и упростим:

$(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

Подставим обратно в исходное выражение:

$(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

Ответ: $(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

3) $(a-2b)^3-(a+2b)^3$

Это разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a-2b$ и $y = a+2b$.

Найдем каждый компонент формулы:

$x-y = (a-2b)-(a+2b) = a-2b-a-2b = -4b$

$x^2 = (a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$

$y^2 = (a+2b)^2 = a^2+4ab+4b^2$

$xy = (a-2b)(a+2b) = a^2-(2b)^2 = a^2-4b^2$ (по формуле разности квадратов)

Теперь подставим эти компоненты в $x^2+xy+y^2$:

$(a^2-4ab+4b^2) + (a^2-4b^2) + (a^2+4ab+4b^2) = a^2-4ab+4b^2+a^2-4b^2+a^2+4ab+4b^2 = 3a^2+4b^2$

Собираем всё вместе:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = (-4b)(3a^2+4b^2)$

Ответ: $-4b(3a^2+4b^2)$

4) $(2x+3y)^3+(3x-2y)^3$

Это сумма кубов. Воспользуемся формулой $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = 2x+3y$ и $b = 3x-2y$.

Найдем каждый компонент формулы:

$a+b = (2x+3y)+(3x-2y) = 2x+3y+3x-2y = 5x+y$

$a^2 = (2x+3y)^2 = 4x^2+12xy+9y^2$

$b^2 = (3x-2y)^2 = 9x^2-12xy+4y^2$

$ab = (2x+3y)(3x-2y) = 6x^2-4xy+9xy-6y^2 = 6x^2+5xy-6y^2$

Теперь подставим эти компоненты в $a^2-ab+b^2$:

$(4x^2+12xy+9y^2) - (6x^2+5xy-6y^2) + (9x^2-12xy+4y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x^2+12xy+9y^2 - 6x^2-5xy+6y^2 + 9x^2-12xy+4y^2 = (4-6+9)x^2 + (12-5-12)xy + (9+6+4)y^2 = 7x^2-5xy+19y^2$

Собираем всё вместе:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = (5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$

Ответ: $(5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$

5.141. Представьте в виде произведения:

1) $m^3-m^2n-mn^2+n^3$;

2) $x^5-x^3+x^2-1$;

3) $x^4+x^3-x-1$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $m^6-m^4+2m^3+2m^2$;

6) $b^3-8+6b^2-12b$.

1) $m^3-m^2n-mn^2+n^3$
Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$m^2(m - n) - n^2(m - n)$
Теперь вынесем общий множитель $(m - n)$:
$(m - n)(m^2 - n^2)$
Второй множитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(m - n)(m - n)(m + n) = (m - n)^2(m + n)$
Ответ: $(m - n)^2(m + n)$

2) $x^5-x^3+x^2-1$
Сгруппируем слагаемые: $(x^5 - x^3) + (x^2 - 1)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^3(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1)(x^3 + 1)$
Оба множителя можно разложить дальше, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x - 1)(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$
Запишем итоговый результат, объединив одинаковые множители:
$(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$
Ответ: $(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$

3) $x^4+x^3-x-1$
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + x^3) - (x + 1)$.
Вынесем общие множители:
$x^3(x + 1) - 1(x + 1)$
Вынесем общий множитель $(x + 1)$:
$(x + 1)(x^3 - 1)$
Второй множитель является разностью кубов, которую разложим по формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$
Ответ: $(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

4) $a^4+a^3+a+1$
Сгруппируем слагаемые: $(a^4 + a^3) + (a + 1)$.
Вынесем общие множители:
$a^3(a + 1) + 1(a + 1)$
Вынесем общий множитель $(a + 1)$:
$(a + 1)(a^3 + 1)$
Второй множитель является суммой кубов, которую разложим по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1)$
Ответ: $(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$

5) $m^6-m^4+2m^3+2m^2$
Вынесем за скобки общий множитель $m^2$:
$m^2(m^4 - m^2 + 2m + 2)$
Разложим на множители выражение в скобках $m^4 - m^2 + 2m + 2$. Сгруппируем слагаемые: $(m^4-m^2) + (2m+2)$.
$m^2(m^2-1) + 2(m+1) = m^2(m-1)(m+1) + 2(m+1)$
Вынесем общий множитель $(m+1)$:
$(m+1)[m^2(m-1)+2] = (m+1)(m^3-m^2+2)$
Теперь разложим на множители кубический многочлен $m^3-m^2+2$. Можно заметить, что $m = -1$ является корнем, так как $(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Значит, $(m+1)$ — один из множителей. Разделим $m^3-m^2+2$ на $(m+1)$ с помощью группировки:
$m^3 - m^2 + 2 = m^3 + m^2 - 2m^2 - 2m + 2m + 2 = m^2(m+1) - 2m(m+1) + 2(m+1) = (m+1)(m^2-2m+2)$
Квадратный трехчлен $m^2-2m+2$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$.
Соберем все множители вместе:
$m^2(m+1)(m+1)(m^2-2m+2) = m^2(m+1)^2(m^2-2m+2)$
Ответ: $m^2(m+1)^2(m^2-2m+2)$

6) $b^3-8+6b^2-12b$
Перегруппируем слагаемые для удобства:
$(b^3 - 8) + (6b^2 - 12b)$
Первая скобка — это разность кубов $b^3 - 2^3$, а из второй можно вынести общий множитель $6b$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(b - 2)(b^2 + 2b + 4) + 6b(b - 2)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b - 2)$:
$(b - 2)[(b^2 + 2b + 4) + 6b]$
Упростим выражение во второй скобке:
$(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$
Ответ: $(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$

5.142. Разложите на множители:

1) $x^2-5x+6;$

2) $x^2+6x+8;$

3) $m^2-7mn+12n^2;$

4) $a^2-7ab+10b^2.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2-5x+6$, можно приравнять его к нулю и найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($x^2+px+q=0$) сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. В нашем случае $p=-5$ и $q=6$.

Таким образом, ищем два числа, сумма которых $x_1+x_2=5$, а произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Легко подобрать эти числа: это 2 и 3.

Значит, корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Разложение квадратного трехчлена на множители выполняется по формуле $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

В нашем случае коэффициент $a=1$, поэтому:

$x^2-5x+6 = 1 \cdot (x-2)(x-3) = (x-2)(x-3)$.

В качестве альтернативного способа можно использовать метод группировки. Представим средний член $-5x$ как сумму $-2x-3x$:

$x^2-5x+6 = x^2-2x-3x+6 = (x^2-2x) - (3x-6) = x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3)$.

Ответ: $(x-2)(x-3)$.

2) Разложим на множители трехчлен $x^2+6x+8$. Для этого найдем корни уравнения $x^2+6x+8=0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=8$.

Подбором находим корни: $x_1=-2$ и $x_2=-4$.

Используя формулу разложения $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=1$, получаем:

$x^2+6x+8 = (x-(-2))(x-(-4)) = (x+2)(x+4)$.

Ответ: $(x+2)(x+4)$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $m^2-7mn+12n^2$, будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$.

Представим средний член $-7mn$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $mn$, то есть -7, а произведение равно коэффициенту при $n^2$, то есть 12. Это числа -3 и -4.

Таким образом, $-7mn = -3mn - 4mn$.

Подставим это в исходное выражение и применим метод группировки:

$m^2-7mn+12n^2 = m^2-3mn-4mn+12n^2 = (m^2-3mn) - (4mn-12n^2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы за скобки:

$m(m-3n) - 4n(m-3n) = (m-3n)(m-4n)$.

Ответ: $(m-3n)(m-4n)$.

4) Разложим на множители выражение $a^2-7ab+10b^2$. Данное выражение является однородным многочленом второй степени, и его можно разложить аналогично квадратному трехчлену.

Представим средний член $-7ab$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 10. Это числа -2 и -5.

Следовательно, $-7ab = -2ab - 5ab$.

Подставим и выполним группировку:

$a^2-7ab+10b^2 = a^2-2ab-5ab+10b^2 = (a^2-2ab) - (5ab-10b^2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a-2b) - 5b(a-2b) = (a-2b)(a-5b)$.

Ответ: $(a-2b)(a-5b)$.

5.143. Представьте в виде произведения:

1) $x^8+x^4+1$;

2) $x^4+x^2y^2+y^4$;

3) $a^3-3a+2$;

4) $x^3+3x^2-4$.

1) Для разложения многочлена $x^8+x^4+1$ на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^4$, чтобы получить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^8+x^4+1 = (x^8+2x^4+1) - x^4$
Первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x^4+1)^2$.
$(x^8+2x^4+1) - x^4 = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(x^4+1)^2 - (x^2)^2 = (x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) = (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$
Множитель $x^4+x^2+1$ можно разложить дальше тем же методом:
$x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
Ответ: $(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

2) Для разложения выражения $x^4+x^2y^2+y^4$ используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое $x^2y^2$.
$x^4+x^2y^2+y^4 = (x^4+2x^2y^2+y^4) - x^2y^2$
Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2+y^2)^2$.
$(x^2+y^2)^2 - (xy)^2$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$((x^2+y^2) - xy)((x^2+y^2) + xy) = (x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$
Ответ: $(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

3) Для разложения кубического многочлена $a^3-3a+2$ найдем один из его корней. Целочисленные корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Проверим $a=1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $a=1$ является корнем, и многочлен делится на $(a-1)$.
Выполним разложение методом группировки. Представим $-3a$ как $-a-2a$.
$a^3-3a+2 = a^3-a-2a+2$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^3-a) - (2a-2) = a(a^2-1) - 2(a-1)$
Разложим $a^2-1$ по формуле разности квадратов:
$a(a-1)(a+1) - 2(a-1)$
Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:
$(a-1)(a(a+1)-2) = (a-1)(a^2+a-2)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $a^2+a-2$. Его корни $a=1$ и $a=-2$, поэтому он раскладывается на множители $(a-1)(a+2)$.
Итоговое разложение:
$(a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2)$
Ответ: $(a-1)^2(a+2)$

4) Для разложения многочлена $x^3+3x^2-4$ найдем его корень среди делителей свободного члена -4. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3+3(1)^2-4 = 1+3-4 = 0$. Значит, $(x-1)$ является одним из множителей.
Используем метод группировки. Представим $3x^2$ как $-x^2+4x^2$ или, что удобнее, перегруппируем иначе:
$x^3+3x^2-4 = (x^3-1) + (3x^2-3)$
Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и вынесем общий множитель 3:
$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x^2-1)$
Применим формулу разности квадратов для $x^2-1$:
$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x-1)(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)[(x^2+x+1) + 3(x+1)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(x-1)(x^2+x+1+3x+3) = (x-1)(x^2+4x+4)$
Выражение $x^2+4x+4$ является полным квадратом $(x+2)^2$.
Окончательное разложение: $(x-1)(x+2)^2$.
Ответ: $(x-1)(x+2)^2$

5.144. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6;$

2) $x^4+x^3+6x^2+5x+5.$

1) Для разложения многочлена $x^3+6x^2+11x+6$ на множители найдем один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В данном случае свободный член равен 6, его делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим, является ли $x=-1$ корнем многочлена, подставив это значение в выражение:
$P(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Поскольку $P(-1) = 0$, то $x=-1$ является корнем многочлена, а следовательно, $(x+1)$ является одним из его множителей.
Теперь разложим многочлен на множители, используя метод группировки, чтобы выделить множитель $(x+1)$:$x^3+6x^2+11x+6 = x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3+x^2) + (5x^2+5x) + (6x+6)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2+5x+6)$
Оставшийся квадратный трехчлен $x^2+5x+6$ также можно разложить на множители. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа -2 и -3.
Таким образом, $x^2+5x+6 = (x-(-2))(x-(-3)) = (x+2)(x+3)$.
В итоге получаем полное разложение исходного многочлена:
$(x+1)(x+2)(x+3)$.
Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$.

2) Для разложения многочлена $x^4+x^3+6x^2+5x+5$ воспользуемся методом группировки. Для этого представим член $6x^2$ в виде суммы $x^2+5x^2$.
$x^4+x^3+6x^2+5x+5 = x^4+x^3+x^2+5x^2+5x+5$
Теперь сгруппируем слагаемые:
$(x^4+x^3+x^2) + (5x^2+5x+5)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^2(x^2+x+1) + 5(x^2+x+1)$
Видно, что у обеих групп есть общий множитель $(x^2+x+1)$. Вынесем его за скобки:
$(x^2+5)(x^2+x+1)$
Проверим, можно ли разложить полученные множители дальше.
Многочлен $x^2+5$ не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+5 > 0$ для любого действительного $x$.
Для многочлена $x^2+x+1$ найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1-4 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$), у этого квадратного трехчлена также нет действительных корней.
Следовательно, разложение является окончательным в поле действительных чисел.
Ответ: $(x^2+5)(x^2+x+1)$.

5.145. Докажите, что при любом целом n значение выражения:

1) $(2n+1)^2-1$ кратно 8;

2) $n^3-n$ кратно 6.

1) Докажем, что при любом целом $n$ значение выражения $(2n+1)^2-1$ кратно 8.

Для этого преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+1)^2-1 = (2n+1-1)(2n+1+1) = (2n)(2n+2)$

Теперь вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$2n \cdot 2(n+1) = 4n(n+1)$

Выражение $n(n+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных чисел одно обязательно является четным, следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Пусть $n(n+1) = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

Тогда исходное выражение можно записать в виде:

$4 \cdot (2k) = 8k$

Поскольку выражение можно представить как $8k$, где $k$ — целое число, оно всегда делится на 8 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что при любом целом $n$ значение выражения $n^3-n$ кратно 6.

Для этого разложим выражение на множители. Сначала вынесем $n$ за скобки:

$n^3-n = n(n^2-1)$

Теперь применим формулу разности квадратов к выражению в скобках:

$n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных целых чисел:

$(n-1)n(n+1)$

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно (так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \cdot 3 = 6$).

Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3. Это следует из того, что при делении на 3 любое целое число $n$ может давать остаток 0, 1 или 2:

• Если $n$ делится на 3, то произведение делится на 3.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n-1 = 3k$ будет делиться на 3.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.

В любом случае один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3.

Так как выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5.146. Докажите, что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2, большую, чем $2^2$.

Пусть даны два последовательных четных числа. Любое четное число можно представить в виде $2n$, где $n$ – целое число. Тогда следующее за ним четное число будет $2n+2$.

Требуется доказать утверждение о разности их квадратов. Составим выражение для разности квадратов этих чисел, вычитая из квадрата большего числа квадрат меньшего: $$ (2n+2)^2 - (2n)^2 $$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = 2n+2$ и $b = 2n$.

Подставим эти значения в формулу: $$ ((2n+2) - 2n)((2n+2) + 2n) $$

Упростим выражение в каждой из скобок: $$ (2)(4n+2) $$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $$ 2 \cdot 2(2n+1) = 4(2n+1) $$

Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна $4(2n+1)$. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда выражение примет вид: $$ 2^2(2n+1) $$

Теперь проанализируем полученное выражение. Множитель $(2n+1)$ при любом целом $n$ является нечетным числом, так как $2n$ — это всегда четное число, а прибавление единицы к четному числу дает нечетное.

Поскольку $(2n+1)$ — нечетное число, оно не делится на 2. Это означает, что в его разложении на простые множители отсутствует число 2.

Следовательно, все множители 2 в выражении $4(2n+1)$ содержатся только в множителе 4. Таким образом, разность квадратов двух последовательных четных чисел всегда делится на $2^2=4$. Максимальная степень двойки, на которую делится эта разность, равна 2.

Это означает, что данная разность не может делиться на $2^3=8$, $2^4=16$ и любую другую степень двойки, большую чем $2^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных четных чисел представляется в виде $4(2n+1) = 2^2(2n+1)$, где $(2n+1)$ — нечетное число. Следовательно, эта разность делится на $2^2$, но не делится на $2^k$ при $k>2$.

5.147. Докажите тождество:

1) $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3;$

2) $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6;$

3) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2;$

4) $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2.$

1) Докажем тождество $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3$.
Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что $b-a = -(a-b)$, тогда $-2ab(b-a) = -2ab(-(a-b)) = 2ab(a-b)$.
Подставим это в выражение:
$(a+b)^2(a-b) + 2ab(a-b) - 6ab(a-b)$
Приведем подобные слагаемые:
$(a+b)^2(a-b) - 4ab(a-b)$
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b) \cdot ((a+b)^2 - 4ab)$
Раскроем квадрат суммы в скобках: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$(a-b) \cdot (a^2+2ab+b^2 - 4ab)$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a-b) \cdot (a^2-2ab+b^2)$
Выражение во вторых скобках является квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Получаем:
$(a-b) \cdot (a-b)^2 = (a-b)^3$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b) = (a-b)((a+b)^2-4ab) = (a-b)(a^2+2ab+b^2-4ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2) = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)^3$.

2) Докажем тождество $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6$.
Преобразуем левую часть. Первое слагаемое является формулой суммы кубов, где в качестве слагаемых выступают $a^2$ и $b^2$:
$(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6+b^6$.
Второе слагаемое является формулой разности квадратов:
$(a^3-b^3)(a^3+b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6-b^6$.
Подставим преобразованные выражения в левую часть исходного равенства:
$(a^6+b^6) + (a^6-b^6) = a^6+b^6+a^6-b^6 = 2a^6$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3) = (a^6+b^6) + (a^6-b^6) = 2a^6$.

3) Докажем тождество $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$.
Это тождество Брахмагупты-Фибоначчи. Докажем его, раскрыв скобки в обеих частях равенства.
Преобразуем левую часть:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.
Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = (a^2c^2+2abcd+b^2d^2) + (a^2d^2-2abcd+b^2c^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2c^2+2abcd+b^2d^2 + a^2d^2-2abcd+b^2c^2 = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$.
Левая и правая части равны. Тождество доказано.
Ответ: Правая часть: $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2 = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$. Левая часть: $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$. Части равны.

4) Докажем тождество $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2$.
Раскроем скобки в левой и правой частях равенства.
Левая часть:
$(a^2+cb^2)(d^2+ce^2) = a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + c^2b^2e^2$.
Правая часть:
$(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2 = (a^2d^2+2adcbe+c^2b^2e^2) + c(a^2e^2-2aebd+b^2d^2)$.
Раскроем вторые скобки в правой части:
$a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2 + ca^2e^2-2cabde+cb^2d^2$.
Приведем подобные слагаемые ($2abcde$ и $-2abcde$ взаимно уничтожаются):
$a^2d^2+c^2b^2e^2+ca^2e^2+cb^2d^2$.
Перегруппируем слагаемые для соответствия с левой частью:
$a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + c^2b^2e^2$.
Левая и правая части равны. Тождество доказано.
Ответ: Правая часть: $(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2 = a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2+c(a^2e^2-2abde+b^2d^2) = a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2+ca^2e^2-2abcde+cb^2d^2 = a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2$. Левая часть: $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2) = a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2$. Части равны.

5.148*. При каком значении a произведение $(x^2+x-1)(x-a)$ в виде многочлена стандартного вида не содержит:

1) $x$;

2) $x^2$?

Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором многочлен не содержит определенный член, необходимо сначала представить произведение $(x^2+x-1)(x-a)$ в виде многочлена стандартного вида. Для этого раскроем скобки:

$(x^2+x-1)(x-a) = x \cdot (x^2+x-1) - a \cdot (x^2+x-1) = x^3+x^2-x - ax^2-ax+a$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковыми степенями $x$:

$x^3 + (x^2 - ax^2) + (-x - ax) + a = x^3 + (1-a)x^2 + (-1-a)x + a$

Многочлен в стандартном виде: $x^3 + (1-a)x^2 - (1+a)x + a$.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

1) $x$

Чтобы многочлен не содержал член с $x$ (т.е. слагаемое первой степени), коэффициент при $x$ должен быть равен нулю.

В полученном многочлене коэффициент при $x$ равен $-(1+a)$.

Приравняем его к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$-(1+a) = 0$

$1+a = 0$

$a = -1$

Таким образом, при $a=-1$ произведение не будет содержать член $x$.

Ответ: $a = -1$

2) $x^2$

Чтобы многочлен не содержал член с $x^2$ (т.е. слагаемое второй степени), коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю.

В полученном многочлене коэффициент при $x^2$ равен $(1-a)$.

Приравняем его к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$1-a = 0$

$a = 1$

Таким образом, при $a=1$ произведение не будет содержать член $x^2$.

Ответ: $a = 1$

5.149*. При каком значении $b$ произведение $(x^2-10x+6)(2x+b)$ в виде многочлена стандартного вида:

1) не содержит $x^2$;

2) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$?

Для решения задачи сначала представим произведение $(x^2-10x+6)(2x+b)$ в виде многочлена стандартного вида. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2-10x+6)(2x+b) = x^2 \cdot (2x+b) - 10x \cdot (2x+b) + 6 \cdot (2x+b) = 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$2x^3 + (b-20)x^2 + (12-10b)x + 6b$

Теперь, используя полученный многочлен, найдем значение $b$ для каждого из условий.

1) не содержит $x^2$

Чтобы многочлен не содержал член с $x^2$, коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю. В нашем случае коэффициент при $x^2$ равен $(b-20)$.

Составим и решим уравнение:

$b - 20 = 0$

$b = 20$

Следовательно, при $b=20$ многочлен не будет содержать $x^2$.

Ответ: $b = 20$.

2) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$

Коэффициент при $x^3$ в полученном многочлене равен 2. Коэффициент при $x$ равен $(12-10b)$.

Согласно условию, эти коэффициенты должны быть равны. Приравняем их и решим полученное уравнение:

$2 = 12 - 10b$

$10b = 12 - 2$

$10b = 10$

$b = 1$

Следовательно, при $b=1$ коэффициенты при $x^3$ и $x$ будут равны.

Ответ: $b = 1$.

5.150. Найдите наименьшее общее кратное выражений:

1) $2a^2-4ab+2b^2$; $6a^2-6b^2$; $12a-12b$;

2) $3x^2+6xy+3y^2$; $4x^2-4y^2$; $8x+8y$.

1) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для алгебраических выражений, необходимо разложить каждое из них на множители. Этот процесс аналогичен нахождению НОК для чисел.

Шаг 1: Разложим на множители каждое из трех выражений.

• Первое выражение: $2a^2-4ab+2b^2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a^2-2ab+b^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, $2a^2-4ab+2b^2 = 2(a-b)^2$.

• Второе выражение: $6a^2-6b^2$. Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(a^2-b^2)$. Выражение в скобках — это разность квадратов, которую можно разложить как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, $6a^2-6b^2 = 6(a-b)(a+b) = 2 \cdot 3(a-b)(a+b)$.

• Третье выражение: $12a-12b$. Вынесем общий множитель 12 за скобки: $12(a-b)$. Разложим 12 на простые множители: $12=2^2 \cdot 3$. Таким образом, $12a-12b = 2^2 \cdot 3(a-b)$.

Шаг 2: Составим НОК из полученных множителей. Для этого нужно взять каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.

• Числовые коэффициенты: 2, 6, 12. НОК(2, 6, 12) = 12.

• Множитель $(a-b)$: встречается в степенях 2, 1, 1. Выбираем наибольшую степень: $(a-b)^2$.

• Множитель $(a+b)$: встречается в степени 1. Выбираем $(a+b)$.

Шаг 3: Перемножим выбранные множители, чтобы получить НОК.

НОК = $12 \cdot (a-b)^2 \cdot (a+b)$.

Ответ: $12(a-b)^2(a+b)$.

2) Решим второй пункт по аналогии с первым.

Шаг 1: Разложим на множители каждое выражение.

• Первое выражение: $3x^2+6xy+3y^2 = 3(x^2+2xy+y^2) = 3(x+y)^2$.

• Второе выражение: $4x^2-4y^2 = 4(x^2-y^2) = 4(x-y)(x+y) = 2^2(x-y)(x+y)$.

• Третье выражение: $8x+8y = 8(x+y) = 2^3(x+y)$.

Шаг 2: Составим НОК из полученных множителей.

• Числовые коэффициенты: 3, 4, 8. НОК(3, 4, 8) = 24.

• Множитель $(x+y)$: встречается в степенях 2, 1, 1. Выбираем наибольшую степень: $(x+y)^2$.

• Множитель $(x-y)$: встречается в степени 1. Выбираем $(x-y)$.

Шаг 3: Перемножим выбранные множители.

НОК = $24 \cdot (x+y)^2 \cdot (x-y)$.

Ответ: $24(x-y)(x+y)^2$.