Номер 5.145, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.145. Докажите, что при любом целом n значение выражения:

1) $(2n+1)^2-1$ кратно 8;

2) $n^3-n$ кратно 6.

1) Докажем, что при любом целом $n$ значение выражения $(2n+1)^2-1$ кратно 8.

Для этого преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+1)^2-1 = (2n+1-1)(2n+1+1) = (2n)(2n+2)$

Теперь вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$2n \cdot 2(n+1) = 4n(n+1)$

Выражение $n(n+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных чисел одно обязательно является четным, следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Пусть $n(n+1) = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

Тогда исходное выражение можно записать в виде:

$4 \cdot (2k) = 8k$

Поскольку выражение можно представить как $8k$, где $k$ — целое число, оно всегда делится на 8 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что при любом целом $n$ значение выражения $n^3-n$ кратно 6.

Для этого разложим выражение на множители. Сначала вынесем $n$ за скобки:

$n^3-n = n(n^2-1)$

Теперь применим формулу разности квадратов к выражению в скобках:

$n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных целых чисел:

$(n-1)n(n+1)$

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно (так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \cdot 3 = 6$).

Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3. Это следует из того, что при делении на 3 любое целое число $n$ может давать остаток 0, 1 или 2:

• Если $n$ делится на 3, то произведение делится на 3.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n-1 = 3k$ будет делиться на 3.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.

В любом случае один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3.

Так как выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.