Номер 5.150, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.150. Найдите наименьшее общее кратное выражений:

1) $2a^2-4ab+2b^2$; $6a^2-6b^2$; $12a-12b$;

2) $3x^2+6xy+3y^2$; $4x^2-4y^2$; $8x+8y$.

1) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для алгебраических выражений, необходимо разложить каждое из них на множители. Этот процесс аналогичен нахождению НОК для чисел.

Шаг 1: Разложим на множители каждое из трех выражений.

• Первое выражение: $2a^2-4ab+2b^2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a^2-2ab+b^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, $2a^2-4ab+2b^2 = 2(a-b)^2$.

• Второе выражение: $6a^2-6b^2$. Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(a^2-b^2)$. Выражение в скобках — это разность квадратов, которую можно разложить как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, $6a^2-6b^2 = 6(a-b)(a+b) = 2 \cdot 3(a-b)(a+b)$.

• Третье выражение: $12a-12b$. Вынесем общий множитель 12 за скобки: $12(a-b)$. Разложим 12 на простые множители: $12=2^2 \cdot 3$. Таким образом, $12a-12b = 2^2 \cdot 3(a-b)$.

Шаг 2: Составим НОК из полученных множителей. Для этого нужно взять каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.

• Числовые коэффициенты: 2, 6, 12. НОК(2, 6, 12) = 12.

• Множитель $(a-b)$: встречается в степенях 2, 1, 1. Выбираем наибольшую степень: $(a-b)^2$.

• Множитель $(a+b)$: встречается в степени 1. Выбираем $(a+b)$.

Шаг 3: Перемножим выбранные множители, чтобы получить НОК.

НОК = $12 \cdot (a-b)^2 \cdot (a+b)$.

Ответ: $12(a-b)^2(a+b)$.

2) Решим второй пункт по аналогии с первым.

Шаг 1: Разложим на множители каждое выражение.

• Первое выражение: $3x^2+6xy+3y^2 = 3(x^2+2xy+y^2) = 3(x+y)^2$.

• Второе выражение: $4x^2-4y^2 = 4(x^2-y^2) = 4(x-y)(x+y) = 2^2(x-y)(x+y)$.

• Третье выражение: $8x+8y = 8(x+y) = 2^3(x+y)$.

Шаг 2: Составим НОК из полученных множителей.

• Числовые коэффициенты: 3, 4, 8. НОК(3, 4, 8) = 24.

• Множитель $(x+y)$: встречается в степенях 2, 1, 1. Выбираем наибольшую степень: $(x+y)^2$.

• Множитель $(x-y)$: встречается в степени 1. Выбираем $(x-y)$.

Шаг 3: Перемножим выбранные множители.

НОК = $24 \cdot (x+y)^2 \cdot (x-y)$.

Ответ: $24(x-y)(x+y)^2$.