Номер 5.143, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.143. Представьте в виде произведения:

1) $x^8+x^4+1$;

2) $x^4+x^2y^2+y^4$;

3) $a^3-3a+2$;

4) $x^3+3x^2-4$.

1) Для разложения многочлена $x^8+x^4+1$ на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $x^4$, чтобы получить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^8+x^4+1 = (x^8+2x^4+1) - x^4$
Первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x^4+1)^2$.
$(x^8+2x^4+1) - x^4 = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(x^4+1)^2 - (x^2)^2 = (x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) = (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$
Множитель $x^4+x^2+1$ можно разложить дальше тем же методом:
$x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
Ответ: $(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

2) Для разложения выражения $x^4+x^2y^2+y^4$ используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое $x^2y^2$.
$x^4+x^2y^2+y^4 = (x^4+2x^2y^2+y^4) - x^2y^2$
Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2+y^2)^2$.
$(x^2+y^2)^2 - (xy)^2$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$((x^2+y^2) - xy)((x^2+y^2) + xy) = (x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$
Ответ: $(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

3) Для разложения кубического многочлена $a^3-3a+2$ найдем один из его корней. Целочисленные корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Проверим $a=1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $a=1$ является корнем, и многочлен делится на $(a-1)$.
Выполним разложение методом группировки. Представим $-3a$ как $-a-2a$.
$a^3-3a+2 = a^3-a-2a+2$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^3-a) - (2a-2) = a(a^2-1) - 2(a-1)$
Разложим $a^2-1$ по формуле разности квадратов:
$a(a-1)(a+1) - 2(a-1)$
Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:
$(a-1)(a(a+1)-2) = (a-1)(a^2+a-2)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $a^2+a-2$. Его корни $a=1$ и $a=-2$, поэтому он раскладывается на множители $(a-1)(a+2)$.
Итоговое разложение:
$(a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2(a+2)$
Ответ: $(a-1)^2(a+2)$

4) Для разложения многочлена $x^3+3x^2-4$ найдем его корень среди делителей свободного члена -4. Делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3+3(1)^2-4 = 1+3-4 = 0$. Значит, $(x-1)$ является одним из множителей.
Используем метод группировки. Представим $3x^2$ как $-x^2+4x^2$ или, что удобнее, перегруппируем иначе:
$x^3+3x^2-4 = (x^3-1) + (3x^2-3)$
Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и вынесем общий множитель 3:
$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x^2-1)$
Применим формулу разности квадратов для $x^2-1$:
$(x-1)(x^2+x+1) + 3(x-1)(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)[(x^2+x+1) + 3(x+1)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(x-1)(x^2+x+1+3x+3) = (x-1)(x^2+4x+4)$
Выражение $x^2+4x+4$ является полным квадратом $(x+2)^2$.
Окончательное разложение: $(x-1)(x+2)^2$.
Ответ: $(x-1)(x+2)^2$