Номер 5.136, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.136. Разложите на множители:

1) $25x^2-(x+y)^2$;

2) $100-(3a+7y)^2$;

3) $1-(a^2+b^2)^2$;

4) $m^6n^2-(m-n)^2$;

5) $x^4y^2-(a^2-b^2)^2$;

6) $9x^2y^4-(a-b)^2$.

1)

Для разложения выражения $25x^2-(x+y)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В данном выражении $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$. Таким образом, получаем $A = 5x$ и $B = x+y$.
Подставляем значения в формулу:
$25x^2 - (x+y)^2 = (5x)^2 - (x+y)^2 = (5x - (x+y))(5x + (x+y))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(5x - x - y)(5x + x + y) = (4x - y)(6x + y)$.

Ответ: $(4x - y)(6x + y)$

2)

Для разложения выражения $100-(3a+7y)^2$ применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Здесь $100 = 10^2$, следовательно, $A = 10$ и $B = 3a+7y$.
Подставляем в формулу:
$100 - (3a+7y)^2 = 10^2 - (3a+7y)^2 = (10 - (3a+7y))(10 + (3a+7y))$.
Раскроем внутренние скобки:
$(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$.

Ответ: $(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$

3)

В выражении $1-(a^2+b^2)^2$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В этом выражении $1 = 1^2$, значит $A = 1$ и $B = a^2+b^2$.
Подставляем в формулу:
$1^2 - (a^2+b^2)^2 = (1 - (a^2+b^2))(1 + (a^2+b^2))$.
Упрощаем, раскрывая скобки внутри множителей:
$(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$

4)

В выражении $m^6n^2-(m-n)^2$ применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим $m^6n^2$ как $(m^3n)^2$. Тогда $A = m^3n$ и $B = m-n$.
Подставляем в формулу:
$(m^3n)^2 - (m-n)^2 = (m^3n - (m-n))(m^3n + (m-n))$.
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$.

Ответ: $(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$

5)

Для разложения выражения $x^4y^2-(a^2-b^2)^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В данном случае $x^4y^2 = (x^2y)^2$. Таким образом, $A = x^2y$ и $B = a^2-b^2$.
Подставляем в формулу:
$(x^2y)^2 - (a^2-b^2)^2 = (x^2y - (a^2-b^2))(x^2y + (a^2-b^2))$.
Упростим выражения в скобках:
$(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$.

Ответ: $(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$

6)

В выражении $9x^2y^4-(a-b)^2$ снова используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Здесь $9x^2y^4 = (3xy^2)^2$. Значит, $A = 3xy^2$ и $B = a-b$.
Подставляем в формулу:
$(3xy^2)^2 - (a-b)^2 = (3xy^2 - (a-b))(3xy^2 + (a-b))$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$.

Ответ: $(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$