Номер 5.135, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.135. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4$;

2) $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)=a^8-b^8$.

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
Левая часть тождества: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Сначала перемножим первые два множителя:
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть:
$(a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где $x=a^2$ и $y=b^2$:
$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.
В результате преобразований левая часть тождества стала равна его правой части: $a^4-b^4 = a^4-b^4$. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества также преобразуем его левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$. Для удобства начнем преобразования с последних множителей.
Левая часть тождества: $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$.
1. Перемножим последние два множителя: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
После этого шага выражение принимает вид: $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a^2-b^2)$.
2. Теперь перемножим два новых последних множителя: $(a^2+b^2)(a^2-b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.
Выражение теперь выглядит так: $(a^4+b^4)(a^4-b^4)$.
3. В последний раз применяем формулу разности квадратов: $(a^4+b^4)(a^4-b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8-b^8$.
Таким образом, левая часть тождества после всех преобразований стала равна его правой части: $a^8-b^8 = a^8-b^8$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.