Номер 5.134, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.134. Докажите, что выражение $4x-4x^2-2$ может принимать лишь отрицательные значения.

Чтобы доказать, что выражение $4x - 4x^2 - 2$ принимает лишь отрицательные значения, преобразуем его методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет наглядно показать, какой знак имеет выражение при любом значении переменной $x$.

1. Перепишем выражение, расположив члены в стандартном порядке для квадратного трехчлена:

$4x - 4x^2 - 2 = -4x^2 + 4x - 2$

2. Вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть $-4$:

$-4(x^2 - x) - 2$

3. Выделим полный квадрат в скобках. Для этого дополним выражение $x^2 - x$ до квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Сравнивая $x^2 - x$ с $x^2 - 2ax$, видим, что $2a=1$, то есть $a=1/2$. Значит, нужно добавить и отнять $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:

$-4(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2$

4. Теперь сгруппируем члены, образующие полный квадрат:

$-4\left( (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) - 2$

5. Раскроем скобки:

$-4(x - \frac{1}{2})^2 + (-4)(-\frac{1}{4}) - 2$

$-4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 - 2$

$-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$

6. Проанализируем полученное выражение $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$.

Выражение в скобках $(x - \frac{1}{2})^2$ является квадратом действительного числа, а значит, оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, выражение $-4(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю): $-4(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$.

Если из неположительного числа вычесть 1, результат всегда будет меньше или равен $-1$:

$-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$

Таким образом, мы показали, что исходное выражение $4x - 4x^2 - 2$ для любого значения $x$ принимает значение, которое меньше или равно $-1$. А любое число, меньшее или равное $-1$, является отрицательным.

Ответ: Выражение $4x - 4x^2 - 2$ тождественно равно выражению $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$. Так как $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $x$, то $-4(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$. Отсюда следует, что $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$. Это доказывает, что данное выражение принимает только отрицательные значения. Что и требовалось доказать.