Номер 5.131, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.131. Разложите на множители:

1) $a^2-b^2-a+b;$

2) $a^2-b^2-a+b;$

3) $x^3-x^2y-xy^2+y^3;$

4) $a^3+a^2b-ab^2-b^3;$

5) $m^2+2mn+n^2-mb-nb;$

6) $xc-yc-x^2+2xy-y^2.$

1) Для разложения на множители выражения $a^2-b^2-a+b$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(a^2-b^2) + (-a+b)$

Первая скобка представляет собой формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Из второй скобки вынесем множитель -1: $-a+b = -(a-b)$.

Получим выражение:

$(a-b)(a+b) - (a-b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, который можно вынести за скобку:

$(a-b)((a+b)-1) = (a-b)(a+b-1)$

Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

2) Данное выражение $a^2-b^2-a+b$ полностью совпадает с выражением из предыдущего пункта. Решение аналогично.

Сгруппируем слагаемые: $(a^2-b^2) - (a-b)$.

Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) - (a-b)$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$: $(a-b)((a+b)-1) = (a-b)(a+b-1)$.

Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

3) Для разложения на множители выражения $x^3-x^2y-xy^2+y^3$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^3-x^2y) + (-xy^2+y^3)$

В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй $-y^2$:

$x^2(x-y) - y^2(x-y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x-y)$:

$(x-y)(x^2-y^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов, которую также можно разложить на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Окончательный вид:

$(x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)^2(x+y)$

Ответ: $(x-y)^2(x+y)$

4) Для разложения на множители выражения $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(a^3+a^2b) + (-ab^2-b^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой $a^2$, из второй $-b^2$:

$a^2(a+b) - b^2(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)(a^2-b^2)$

Разложим разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Получаем: $(a+b)(a-b)(a+b) = (a+b)^2(a-b)$.

Ответ: $(a+b)^2(a-b)$

5) В выражении $m^2+2mn+n^2-mb-nb$ первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы.

Сгруппируем их: $(m^2+2mn+n^2) - (mb+nb)$.

Первая скобка сворачивается в $(m+n)^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель $b$: $b(m+n)$.

Выражение принимает вид:

$(m+n)^2 - b(m+n)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$(m+n)((m+n)-b) = (m+n)(m+n-b)$

Ответ: $(m+n)(m+n-b)$

6) В выражении $xc-yc-x^2+2xy-y^2$ сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(xc-yc) + (-x^2+2xy-y^2)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $c$. Из второй скобки вынесем -1, чтобы получить формулу квадрата разности:

$c(x-y) - (x^2-2xy+y^2)$

Выражение во второй скобке является полным квадратом: $(x-y)^2$.

Теперь выражение выглядит так:

$c(x-y) - (x-y)^2$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(c-(x-y)) = (x-y)(c-x+y)$

Ответ: $(x-y)(c-x+y)$