Номер 5.132, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.132. Представьте в виде произведения:

1) $(a-b)^3-3(a-b)^2$;

2) $(x+y)^3+2x(x+y)^2$;

3) $(m+n)^3-m^2-2mn-n^2$;

4) $x^2-4xy+4y^2-(x-2y)^3$.

1) Чтобы представить выражение $(a-b)^3-3(a-b)^2$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель. В данном случае общим множителем является $(a-b)^2$. Вынесем его за скобки:
$(a-b)^3-3(a-b)^2 = (a-b)^2 \cdot (a-b) - 3(a-b)^2 = (a-b)^2((a-b)-3)$.
Далее, упростим выражение во второй скобке:
$(a-b)-3 = a-b-3$.
Таким образом, окончательное выражение в виде произведения выглядит так: $(a-b)^2(a-b-3)$.
Ответ: $(a-b)^2(a-b-3)$.

2) В выражении $(x+y)^3+2x(x+y)^2$ общим множителем является $(x+y)^2$. Вынесем этот множитель за скобки:
$(x+y)^3+2x(x+y)^2 = (x+y)^2 \cdot (x+y) + 2x(x+y)^2 = (x+y)^2((x+y)+2x)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$x+y+2x = 3x+y$.
В результате получаем следующее произведение: $(x+y)^2(3x+y)$.
Ответ: $(x+y)^2(3x+y)$.

3) Рассмотрим выражение $(m+n)^3-m^2-2mn-n^2$. Заметим, что группа слагаемых $-m^2-2mn-n^2$ представляет собой полный квадрат суммы со знаком минус. Вынесем $-1$ за скобки:
$-(m^2+2mn+n^2)$.
Используя формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$, получаем: $-(m+n)^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $(m+n)^3-(m+n)^2$.
Вынесем общий множитель $(m+n)^2$ за скобки:
$(m+n)^2((m+n)-1) = (m+n)^2(m+n-1)$.
Ответ: $(m+n)^2(m+n-1)$.

4) Рассмотрим выражение $x^2-4xy+4y^2-(x-2y)^3$. Первые три слагаемых $x^2-4xy+4y^2$ образуют полный квадрат разности.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=2y$:
$x^2-2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Подставим полученное выражение в исходное: $(x-2y)^2-(x-2y)^3$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x-2y)^2$:
$(x-2y)^2(1-(x-2y))$.
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$1-x+2y$.
Итоговое выражение в виде произведения: $(x-2y)^2(1-x+2y)$.
Ответ: $(x-2y)^2(1-x+2y)$.