Номер 5.126, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.126. Разложите на множители:

1) $5a^2-5b^2$;

2) $3m^2-3n^2$;

3) $a^3-a$;

4) $b^3-b$;

5) $7x^2-7y^2$;

6) $4m^3-4mn^2$;

7) $5x^2-20y^2$;

8) $a^3b-ab^3$.

1) Для разложения на множители выражения $5a^2-5b^2$ первым шагом вынесем общий множитель за скобки. В данном случае общий множитель — это 5.

$5a^2-5b^2 = 5(a^2-b^2)$

Теперь выражение в скобках, $a^2-b^2$, представляет собой формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применим эту формулу:

$5(a^2-b^2) = 5(a-b)(a+b)$

Ответ: $5(a-b)(a+b)$

2) Разложим на множители выражение $3m^2-3n^2$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m^2-3n^2 = 3(m^2-n^2)$

К выражению в скобках $m^2-n^2$ применим формулу разности квадратов:

$3(m^2-n^2) = 3(m-n)(m+n)$

Ответ: $3(m-n)(m+n)$

3) Разложим на множители выражение $a^3-a$.

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^3-a = a(a^2-1)$

Выражение в скобках $a^2-1$ является разностью квадратов, поскольку $1$ можно представить как $1^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a(a^2-1^2) = a(a-1)(a+1)$

Ответ: $a(a-1)(a+1)$

4) Разложим на множители выражение $b^3-b$.

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$b^3-b = b(b^2-1)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $b^2-1=b^2-1^2$:

$b(b^2-1^2) = b(b-1)(b+1)$

Ответ: $b(b-1)(b+1)$

5) Разложим на множители выражение $7x^2-7y^2$.

Вынесем общий числовой множитель 7 за скобки:

$7x^2-7y^2 = 7(x^2-y^2)$

Используем формулу разности квадратов для выражения в скобках:

$7(x^2-y^2) = 7(x-y)(x+y)$

Ответ: $7(x-y)(x+y)$

6) Разложим на множители выражение $4m^3-4mn^2$.

Общим множителем для обоих членов является $4m$. Вынесем его за скобки:

$4m^3-4mn^2 = 4m(m^2-n^2)$

Выражение в скобках $m^2-n^2$ является разностью квадратов. Применим соответствующую формулу:

$4m(m^2-n^2) = 4m(m-n)(m+n)$

Ответ: $4m(m-n)(m+n)$

7) Разложим на множители выражение $5x^2-20y^2$.

Вынесем общий числовой множитель 5 за скобки:

$5x^2-20y^2 = 5(x^2-4y^2)$

Выражение в скобках $x^2-4y^2$ является разностью квадратов, так как $4y^2$ можно записать как $(2y)^2$. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$5(x^2-(2y)^2) = 5(x-2y)(x+2y)$

Ответ: $5(x-2y)(x+2y)$

8) Разложим на множители выражение $a^3b-ab^3$.

Вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$a^3b-ab^3 = ab(a^2-b^2)$

К выражению в скобках $a^2-b^2$ применим формулу разности квадратов:

$ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b)$

Ответ: $ab(a-b)(a+b)$