Номер 5.123, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.123. Найдите натуральные числа n и k, такие, чтобы имело место равенство $kn^2-n^2-kn+n=74$.

Исходное равенство: $kn^2 - n^2 - kn + n = 74$.

Для решения этого диофантова уравнения в натуральных числах преобразуем его левую часть, выполнив группировку слагаемых и вынесение общих множителей за скобки:

$(kn^2 - n^2) - (kn - n) = 74$

Выносим $n^2$ из первой скобки и $n$ из второй:

$n^2(k - 1) - n(k - 1) = 74$

Теперь выносим общий множитель $(k-1)$:

$(n^2 - n)(k - 1) = 74$

И выносим $n$ из первой скобки:

$n(n - 1)(k - 1) = 74$

По условию, n и k — натуральные числа, то есть $n \ge 1$ и $k \ge 1$.

Рассмотрим возможные значения для n и k.

Если $n=1$, левая часть уравнения обращается в ноль: $1 \cdot (1-1) \cdot (k-1) = 0$, что не равно 74. Следовательно, $n \ne 1$.

Если $k=1$, левая часть уравнения также обращается в ноль: $n \cdot (n-1) \cdot (1-1) = 0$, что не равно 74. Следовательно, $k \ne 1$.

Таким образом, $n \ge 2$ и $k \ge 2$. Это означает, что множители $n$, $(n-1)$ и $(k-1)$ являются натуральными числами (целыми и положительными).

Задача свелась к разложению числа 74 на три натуральных множителя, два из которых, $n$ и $(n-1)$, являются последовательными числами.

Разложим число 74 на простые множители: $74 = 2 \times 37$.

Поскольку $n$ и $(n-1)$ — натуральные числа, их произведение $n(n-1)$ должно быть делителем числа 74. Натуральные делители числа 74: 1, 2, 37, 74.

Проверим, какой из этих делителей может быть представлен в виде произведения двух последовательных натуральных чисел $n(n-1)$:

1. Если $n(n-1) = 1$, то $n^2 - n - 1 = 0$. Уравнение не имеет целых корней.

2. Если $n(n-1) = 2$, то $n^2 - n - 2 = 0$. Раскладывая на множители, получаем $(n-2)(n+1)=0$. Так как n — натуральное число, нам подходит корень $n=2$.

3. Если $n(n-1) = 37$, то $n^2 - n - 37 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 1 + 148 = 149$. Так как 149 не является полным квадратом, уравнение не имеет целых корней.

4. Если $n(n-1) = 74$, то $n^2 - n - 74 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-74) = 1 + 296 = 297$. Так как 297 не является полным квадратом, уравнение не имеет целых корней.

Единственная возможность, дающая натуральное решение для n, это $n=2$.

Теперь найдем соответствующее значение k, подставив $n=2$ в уравнение $n(n-1)(k-1)=74$:

$2 \cdot (2-1) \cdot (k-1) = 74$

$2 \cdot 1 \cdot (k-1) = 74$

$2(k-1) = 74$

$k-1 = 37$

$k = 38$

Мы нашли единственную пару натуральных чисел: $n=2$ и $k=38$.

Проверим найденное решение, подставив $n=2$ и $k=38$ в исходное равенство:

$38 \cdot 2^2 - 2^2 - 38 \cdot 2 + 2 = 38 \cdot 4 - 4 - 76 + 2 = 152 - 4 - 76 + 2 = 148 - 76 + 2 = 72 + 2 = 74$.

$74 = 74$. Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $n=2$, $k=38$.