Номер 5.116, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.116. Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

5.116.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть выражение $(n+1)^3 - n^3$, не делится на 3.

Для этого сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок в $(n+1)^3$:

$(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим это выражение в нашу разность:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

Теперь нам нужно проанализировать полученное выражение $3n^2 + 3n + 1$ на предмет делимости на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки из первых двух слагаемых:

$3n^2 + 3n + 1 = 3(n^2 + n) + 1$

Обозначим выражение в скобках за $k$, то есть $k = n^2 + n$. Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ также является натуральным числом, а их сумма $k$ — натуральное (или целое) число.

Таким образом, разность кубов двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде $3k + 1$.

Любое число вида $3k + 1$, где $k$ — целое число, при делении на 3 дает в остатке 1. Число делится на 3 нацело тогда и только тогда, когда остаток от деления на 3 равен 0.

Поскольку остаток от деления нашего выражения на 3 всегда равен 1, оно не может делиться на 3 без остатка ни при каком натуральном $n$.

Следовательно, разность кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.