Номер 5.114, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.114. Упростите выражение и вычислите его значение:

1) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3+12x^2-12xy+3y^2$ при $x=1,1$; $y=1,2$

2) $3(m-1)^2+(m+2)(m^2-2m+4)-(m+1)^3$ при $m=-\frac{1}{3}$;

3) $(a-1)^3-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a^2+a+1)$ при $a=-2.

1) $8x³-12x²y+6xy²-y³+12x²-12xy+3y²$ при $x=1,1$; $y=1,2$

Сначала упростим выражение. Сгруппируем слагаемые:

$(8x³-12x²y+6xy²-y³) + (12x²-12xy+3y²)$

Первая группа слагаемых представляет собой формулу куба разности $(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³$, где $a=2x$ и $b=y$:

$8x³-12x²y+6xy²-y³ = (2x)³ - 3 \cdot (2x)² \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y² - y³ = (2x-y)³$

Во второй группе вынесем общий множитель 3 за скобки. Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)² = a²-2ab+b²$, где $a=2x$ и $b=y$:

$12x²-12xy+3y² = 3(4x²-4xy+y²) = 3((2x)² - 2 \cdot 2x \cdot y + y²) = 3(2x-y)²$

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:

$(2x-y)³ + 3(2x-y)²$

Теперь вычислим его значение при $x=1,1$ и $y=1,2$.

Сначала найдем значение выражения $2x-y$:

$2x-y = 2 \cdot 1,1 - 1,2 = 2,2 - 1,2 = 1$

Подставим полученное значение в упрощенное выражение:

$1³ + 3 \cdot 1² = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$

Ответ: 4

2) $3(m-1)²+(m+2)(m²-2m+4)-(m+1)³$ при $m = -\frac{1}{3}$

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Раскроем квадрат разности: $3(m-1)² = 3(m² - 2m + 1) = 3m² - 6m + 3$.

Второе слагаемое является формулой суммы кубов $(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³$, где $a=m$ и $b=2$:

$(m+2)(m²-2m+4) = m³+2³ = m³+8$

Третье слагаемое — куб суммы $(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³$:

$-(m+1)³ = -(m³+3m²+3m+1) = -m³-3m²-3m-1$

Теперь сложим все части:

$(3m² - 6m + 3) + (m³+8) + (-m³-3m²-3m-1) = 3m² - 6m + 3 + m³+8 - m³-3m²-3m-1$

Приведем подобные слагаемые:

$(m³-m³) + (3m²-3m²) + (-6m-3m) + (3+8-1) = 0 + 0 - 9m + 10 = 10 - 9m$

Теперь вычислим значение выражения при $m = -\frac{1}{3}$:

$10 - 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = 10 + \frac{9}{3} = 10 + 3 = 13$

Ответ: 13

3) $(a-1)³-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a²+a+1)$ при $a=-2$

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое — куб разности: $(a-1)³ = a³ - 3a² + 3a - 1$.

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x²-y²$:

$-4a(a+1)(a-1) = -4a(a²-1) = -4a³+4a$

Третье слагаемое содержит формулу разности кубов $(x-y)(x²+xy+y²) = x³-y³$:

$3(a-1)(a²+a+1) = 3(a³-1³) = 3(a³-1) = 3a³-3$

Теперь сложим все части:

$(a³ - 3a² + 3a - 1) + (-4a³+4a) + (3a³-3) = a³ - 3a² + 3a - 1 - 4a³+4a + 3a³-3$

Приведем подобные слагаемые:

$(a³ - 4a³ + 3a³) - 3a² + (3a+4a) + (-1-3) = 0 - 3a² + 7a - 4 = -3a² + 7a - 4$

Теперь вычислим значение выражения при $a=-2$:

$-3(-2)² + 7(-2) - 4 = -3 \cdot 4 - 14 - 4 = -12 - 14 - 4 = -30$

Ответ: -30