Номер 5.118, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.118. Решите уравнение:

1) $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32;$

2) $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5;$

3) $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42.$

1) Решим уравнение $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Разность кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Применим эти формулы к членам уравнения:

$6(x+1)^2 = 6(x^2+2x+1) = 6x^2+12x+6$.

$2(x-1)(x^2+x+1) = 2(x^3-1^3) = 2(x^3-1) = 2x^3-2$.

$-2(x+1)^3 = -2(x^3+3x^2\cdot1+3x\cdot1^2+1^3) = -2(x^3+3x^2+3x+1) = -2x^3-6x^2-6x-2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение и раскроем скобки:

$(6x^2+12x+6) + (2x^3-2) - (2x^3+6x^2+6x+2) = 32$

$6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2 = 32$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3-2x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-6x) + (6-2-2) = 32$

$0 + 0 + 6x + 2 = 32$

$6x+2=32$

Перенесем 2 в правую часть:

$6x = 32-2$

$6x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5$.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• Разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Преобразуем каждый член уравнения:

$5x(x-3)^2 = 5x(x^2-6x+9) = 5x^3-30x^2+45x$.

$-5(x-1)^3 = -5(x^3-3x^2+3x-1) = -5x^3+15x^2-15x+5$.

$15(x+2)(x-2) = 15(x^2-4) = 15x^2-60$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(5x^3-30x^2+45x) + (-5x^3+15x^2-15x+5) + (15x^2-60) = 5$

$5x^3-30x^2+45x-5x^3+15x^2-15x+5+15x^2-60 = 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x^3-5x^3) + (-30x^2+15x^2+15x^2) + (45x-15x) + (5-60) = 5$

$0 + 0 + 30x - 55 = 5$

$30x-55=5$

Перенесем -55 в правую часть:

$30x = 5+55$

$30x = 60$

Найдем $x$:

$x = \frac{60}{30}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42$.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Сумма кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$

Раскроем скобки в уравнении:

$(x+2)^3 = x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3 = x^3+6x^2+12x+8$.

$-x(3x+1)^2 = -x((3x)^2+2\cdot3x\cdot1+1^2) = -x(9x^2+6x+1) = -9x^3-6x^2-x$.

$(2x+1)(4x^2-2x+1)$. Заметим, что $4x^2=(2x)^2$, поэтому это формула суммы кубов для $a=2x$ и $b=1$: $(2x)^3+1^3 = 8x^3+1$.

Подставим преобразованные части в уравнение:

$(x^3+6x^2+12x+8) - (9x^3+6x^2+x) + (8x^3+1) = 42$

$x^3+6x^2+12x+8-9x^3-6x^2-x+8x^3+1 = 42$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3-9x^3+8x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-x) + (8+1) = 42$

$0 + 0 + 11x + 9 = 42$

$11x+9=42$

Перенесем 9 в правую часть:

$11x = 42-9$

$11x = 33$

Найдем $x$:

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Ответ: $3$.