Номер 5.120, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.120. Каждое из выражений $(a+b)^5$, $(a-b)^5$ представьте в виде многочлена.

Для представления выражений в виде многочлена воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Для степени $n=5$ коэффициенты $C_5^k$ можно найти из треугольника Паскаля. Они равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(a+b)^5$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$, $x=a$ и $y=b$:
$(a+b)^5 = C_5^0 a^5 b^0 + C_5^1 a^4 b^1 + C_5^2 a^3 b^2 + C_5^3 a^2 b^3 + C_5^4 a^1 b^4 + C_5^5 a^0 b^5$
Подставляем значения биномиальных коэффициентов:
$(a+b)^5 = 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 + 10 \cdot a^2b^3 + 5 \cdot ab^4 + 1 \cdot b^5$
В результате получаем многочлен:
$a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Ответ: $a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a-b)^5$

Данное выражение можно представить в виде $(a+(-b))^5$ и применить ту же формулу. В этом случае знаки членов будут чередоваться, так как $-b$ возводится в разные степени.
$(a-b)^5 = C_5^0 a^5 (-b)^0 + C_5^1 a^4 (-b)^1 + C_5^2 a^3 (-b)^2 + C_5^3 a^2 (-b)^3 + C_5^4 a^1 (-b)^4 + C_5^5 a^0 (-b)^5$
Учитывая, что $(-b)^k = -b^k$ для нечетных $k$ и $(-b)^k = b^k$ для четных $k$, получаем:
$(a-b)^5 = 1 \cdot a^5 - 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 - 10 \cdot a^2b^3 + 5 \cdot ab^4 - 1 \cdot b^5$
В результате получаем многочлен:
$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

Ответ: $a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$