Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.116. Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

5.116.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Требуется доказать, что разность их кубов, то есть выражение $(n+1)^3 - n^3$, не делится на 3.

Для этого сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок в $(n+1)^3$:

$(n+1)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 1 + 3 \cdot n \cdot 1^2 + 1^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим это выражение в нашу разность:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

Теперь нам нужно проанализировать полученное выражение $3n^2 + 3n + 1$ на предмет делимости на 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки из первых двух слагаемых:

$3n^2 + 3n + 1 = 3(n^2 + n) + 1$

Обозначим выражение в скобках за $k$, то есть $k = n^2 + n$. Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ также является натуральным числом, а их сумма $k$ — натуральное (или целое) число.

Таким образом, разность кубов двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде $3k + 1$.

Любое число вида $3k + 1$, где $k$ — целое число, при делении на 3 дает в остатке 1. Число делится на 3 нацело тогда и только тогда, когда остаток от деления на 3 равен 0.

Поскольку остаток от деления нашего выражения на 3 всегда равен 1, оно не может делиться на 3 без остатка ни при каком натуральном $n$.

Следовательно, разность кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.117. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Для доказательства данного утверждения представим три последовательных натуральных числа в виде $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее или равное 2 ($n \ge 2$). Такой выбор охватывает все возможные тройки последовательных натуральных чисел (например, для тройки 1, 2, 3 мы берем $n=2$).

Запишем сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как $S$: $S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности для раскрытия скобок: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению: $(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ $(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в выражение для суммы $S$: $S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

Упростим выражение: $S = 3n^3 + 6n$

Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(n^3 + 2n)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^3$ и $2n$ также являются натуральными числами, а их сумма $n^3 + 2n$ — целое число. Полученное выражение для $S$ является произведением числа 3 и целого числа $n^3 + 2n$. Следовательно, сумма $S$ всегда делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$ равна $3n^3 + 6n = 3(n^3 + 2n)$, что очевидно делится на 3.

5.118. Решите уравнение:

1) $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32;$

2) $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5;$

3) $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42.$

1) Решим уравнение $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Разность кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Применим эти формулы к членам уравнения:

$6(x+1)^2 = 6(x^2+2x+1) = 6x^2+12x+6$.

$2(x-1)(x^2+x+1) = 2(x^3-1^3) = 2(x^3-1) = 2x^3-2$.

$-2(x+1)^3 = -2(x^3+3x^2\cdot1+3x\cdot1^2+1^3) = -2(x^3+3x^2+3x+1) = -2x^3-6x^2-6x-2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение и раскроем скобки:

$(6x^2+12x+6) + (2x^3-2) - (2x^3+6x^2+6x+2) = 32$

$6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2 = 32$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3-2x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-6x) + (6-2-2) = 32$

$0 + 0 + 6x + 2 = 32$

$6x+2=32$

Перенесем 2 в правую часть:

$6x = 32-2$

$6x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)=5$.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• Разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Преобразуем каждый член уравнения:

$5x(x-3)^2 = 5x(x^2-6x+9) = 5x^3-30x^2+45x$.

$-5(x-1)^3 = -5(x^3-3x^2+3x-1) = -5x^3+15x^2-15x+5$.

$15(x+2)(x-2) = 15(x^2-4) = 15x^2-60$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(5x^3-30x^2+45x) + (-5x^3+15x^2-15x+5) + (15x^2-60) = 5$

$5x^3-30x^2+45x-5x^3+15x^2-15x+5+15x^2-60 = 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x^3-5x^3) + (-30x^2+15x^2+15x^2) + (45x-15x) + (5-60) = 5$

$0 + 0 + 30x - 55 = 5$

$30x-55=5$

Перенесем -55 в правую часть:

$30x = 5+55$

$30x = 60$

Найдем $x$:

$x = \frac{60}{30}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)=42$.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Сумма кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$

Раскроем скобки в уравнении:

$(x+2)^3 = x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3 = x^3+6x^2+12x+8$.

$-x(3x+1)^2 = -x((3x)^2+2\cdot3x\cdot1+1^2) = -x(9x^2+6x+1) = -9x^3-6x^2-x$.

$(2x+1)(4x^2-2x+1)$. Заметим, что $4x^2=(2x)^2$, поэтому это формула суммы кубов для $a=2x$ и $b=1$: $(2x)^3+1^3 = 8x^3+1$.

Подставим преобразованные части в уравнение:

$(x^3+6x^2+12x+8) - (9x^3+6x^2+x) + (8x^3+1) = 42$

$x^3+6x^2+12x+8-9x^3-6x^2-x+8x^3+1 = 42$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3-9x^3+8x^3) + (6x^2-6x^2) + (12x-x) + (8+1) = 42$

$0 + 0 + 11x + 9 = 42$

$11x+9=42$

Перенесем 9 в правую часть:

$11x = 42-9$

$11x = 33$

Найдем $x$:

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

5.119. Для натуральных чисел $n$, $m$, $k$ сумма $n+m+k$ делится на 6. Докажите, что сумма $n^3+m^3+k^3$ также делится на 6.

По условию задачи, сумма натуральных чисел $n, m, k$ делится на 6. Это означает, что существует такое целое число $A$, что $n + m + k = 6A$. Нам нужно доказать, что сумма $n^3 + m^3 + k^3$ также делится на 6.

Рассмотрим разность между суммой кубов и суммой самих чисел:

$S = (n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k)$

Сгруппируем слагаемые в этом выражении:

$S = (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$

Теперь проанализируем каждое слагаемое в отдельности. Возьмем, к примеру, $n^3 - n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Выражение $(n-1)n(n+1)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть:
1. Хотя бы одно четное число, а значит, произведение делится на 2.
2. Ровно одно число, кратное 3, а значит, произведение делится на 3.

Поскольку числа 2 и 3 являются взаимно простыми, то произведение, которое делится на 2 и на 3, также делится и на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$. Таким образом, $n^3 - n$ всегда делится на 6 для любого натурального $n$.

Аналогично, выражения $m^3 - m$ и $k^3 - k$ также делятся на 6.

Следовательно, их сумма $S = (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$ также делится на 6, так как является суммой трех чисел, каждое из которых делится на 6. Можно записать, что $S = 6B$ для некоторого целого числа $B$.

Мы получили, что $(n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k) = 6B$. Выразим отсюда сумму кубов:

$n^3 + m^3 + k^3 = (n + m + k) + 6B$

По условию задачи, $n + m + k$ делится на 6, то есть $n + m + k = 6A$. Подставим это в наше равенство:

$n^3 + m^3 + k^3 = 6A + 6B = 6(A+B)$

Так как $A$ и $B$ — целые числа, их сумма $A+B$ также является целым числом. Следовательно, выражение $n^3 + m^3 + k^3$ является произведением числа 6 и целого числа, что означает, что оно делится на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность $(n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k)$ можно представить в виде суммы $(n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$. Каждый член этой суммы, например $n^3-n = (n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных целых чисел и потому делится на 6. Значит, вся разность делится на 6. Так как по условию уменьшаемое $(n + m + k)$ делится на 6, то и вычитаемое $(n^3 + m^3 + k^3)$ также должно делиться на 6.

5.120. Каждое из выражений $(a+b)^5$, $(a-b)^5$ представьте в виде многочлена.

Для представления выражений в виде многочлена воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Для степени $n=5$ коэффициенты $C_5^k$ можно найти из треугольника Паскаля. Они равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(a+b)^5$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$, $x=a$ и $y=b$:
$(a+b)^5 = C_5^0 a^5 b^0 + C_5^1 a^4 b^1 + C_5^2 a^3 b^2 + C_5^3 a^2 b^3 + C_5^4 a^1 b^4 + C_5^5 a^0 b^5$
Подставляем значения биномиальных коэффициентов:
$(a+b)^5 = 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 + 10 \cdot a^2b^3 + 5 \cdot ab^4 + 1 \cdot b^5$
В результате получаем многочлен:
$a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Ответ: $a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a-b)^5$

Данное выражение можно представить в виде $(a+(-b))^5$ и применить ту же формулу. В этом случае знаки членов будут чередоваться, так как $-b$ возводится в разные степени.
$(a-b)^5 = C_5^0 a^5 (-b)^0 + C_5^1 a^4 (-b)^1 + C_5^2 a^3 (-b)^2 + C_5^3 a^2 (-b)^3 + C_5^4 a^1 (-b)^4 + C_5^5 a^0 (-b)^5$
Учитывая, что $(-b)^k = -b^k$ для нечетных $k$ и $(-b)^k = b^k$ для четных $k$, получаем:
$(a-b)^5 = 1 \cdot a^5 - 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 - 10 \cdot a^2b^3 + 5 \cdot ab^4 - 1 \cdot b^5$
В результате получаем многочлен:
$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

Ответ: $a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

5.121. Докажите тождество:

1) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$;

2) $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$.

1)

Для доказательства тождества $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$ необходимо преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой. Преобразуем левую часть.

Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

$(a+b)^2-4ab = (a^2+2ab+b^2) - 4ab$

Далее приведем подобные слагаемые ($2ab$ и $-4ab$):

$a^2+2ab-4ab+b^2 = a^2-2ab+b^2$

Полученное выражение $a^2-2ab+b^2$ можно свернуть обратно в полный квадрат по формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $(a+b)^2-4ab = (a^2+2ab+b^2)-4ab = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

2)

Для доказательства тождества $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$ поступим аналогично: преобразуем левую часть.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a-b)^2+4ab = (a^2-2ab+b^2) + 4ab$

Приведем подобные слагаемые ($-2ab$ и $4ab$):

$a^2-2ab+4ab+b^2 = a^2+2ab+b^2$

Это выражение является формулой квадрата суммы, которую можно свернуть: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(a-b)^2+4ab = (a^2-2ab+b^2)+4ab = a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

5.122. Разложите на множители:

1) $x^3-y^3+5x(x^2+xy+y^2)$

2) $a^3-b^3-5a^2b+5ab^2$

1) Разложим на множители выражение $x^3 - y^3 + 5x(x^2 + xy + y^2)$.

Первым шагом воспользуемся формулой разности кубов для выражения $x^3 - y^3$. Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применив эту формулу, получаем:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 5x(x^2 + xy + y^2)$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2 + xy + y^2)((x - y) + 5x)$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(x - y) + 5x = x + 5x - y = 6x - y$

В итоге получаем окончательное разложение на множители:

$(6x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(6x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

2) Разложим на множители выражение $a^3 - b^3 - 5a^2b + 5ab^2$.

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(a^3 - b^3) + (-5a^2b + 5ab^2)$

Разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-5ab$:

$-5a^2b + 5ab^2 = -5ab(a - b)$

Теперь подставим разложенные группы обратно в выражение:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) - 5ab(a - b)$

Мы видим, что у нас появился общий множитель $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)((a^2 + ab + b^2) - 5ab)$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$a^2 + ab + b^2 - 5ab = a^2 - 4ab + b^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(a - b)(a^2 - 4ab + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a^2 - 4ab + b^2)$.

5.123. Найдите натуральные числа n и k, такие, чтобы имело место равенство $kn^2-n^2-kn+n=74$.

Исходное равенство: $kn^2 - n^2 - kn + n = 74$.

Для решения этого диофантова уравнения в натуральных числах преобразуем его левую часть, выполнив группировку слагаемых и вынесение общих множителей за скобки:

$(kn^2 - n^2) - (kn - n) = 74$

Выносим $n^2$ из первой скобки и $n$ из второй:

$n^2(k - 1) - n(k - 1) = 74$

Теперь выносим общий множитель $(k-1)$:

$(n^2 - n)(k - 1) = 74$

И выносим $n$ из первой скобки:

$n(n - 1)(k - 1) = 74$

По условию, n и k — натуральные числа, то есть $n \ge 1$ и $k \ge 1$.

Рассмотрим возможные значения для n и k.

Если $n=1$, левая часть уравнения обращается в ноль: $1 \cdot (1-1) \cdot (k-1) = 0$, что не равно 74. Следовательно, $n \ne 1$.

Если $k=1$, левая часть уравнения также обращается в ноль: $n \cdot (n-1) \cdot (1-1) = 0$, что не равно 74. Следовательно, $k \ne 1$.

Таким образом, $n \ge 2$ и $k \ge 2$. Это означает, что множители $n$, $(n-1)$ и $(k-1)$ являются натуральными числами (целыми и положительными).

Задача свелась к разложению числа 74 на три натуральных множителя, два из которых, $n$ и $(n-1)$, являются последовательными числами.

Разложим число 74 на простые множители: $74 = 2 \times 37$.

Поскольку $n$ и $(n-1)$ — натуральные числа, их произведение $n(n-1)$ должно быть делителем числа 74. Натуральные делители числа 74: 1, 2, 37, 74.

Проверим, какой из этих делителей может быть представлен в виде произведения двух последовательных натуральных чисел $n(n-1)$:

1. Если $n(n-1) = 1$, то $n^2 - n - 1 = 0$. Уравнение не имеет целых корней.

2. Если $n(n-1) = 2$, то $n^2 - n - 2 = 0$. Раскладывая на множители, получаем $(n-2)(n+1)=0$. Так как n — натуральное число, нам подходит корень $n=2$.

3. Если $n(n-1) = 37$, то $n^2 - n - 37 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 1 + 148 = 149$. Так как 149 не является полным квадратом, уравнение не имеет целых корней.

4. Если $n(n-1) = 74$, то $n^2 - n - 74 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-74) = 1 + 296 = 297$. Так как 297 не является полным квадратом, уравнение не имеет целых корней.

Единственная возможность, дающая натуральное решение для n, это $n=2$.

Теперь найдем соответствующее значение k, подставив $n=2$ в уравнение $n(n-1)(k-1)=74$:

$2 \cdot (2-1) \cdot (k-1) = 74$

$2 \cdot 1 \cdot (k-1) = 74$

$2(k-1) = 74$

$k-1 = 37$

$k = 38$

Мы нашли единственную пару натуральных чисел: $n=2$ и $k=38$.

Проверим найденное решение, подставив $n=2$ и $k=38$ в исходное равенство:

$38 \cdot 2^2 - 2^2 - 38 \cdot 2 + 2 = 38 \cdot 4 - 4 - 76 + 2 = 152 - 4 - 76 + 2 = 148 - 76 + 2 = 72 + 2 = 74$.

$74 = 74$. Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $n=2$, $k=38$.

5.124. Разложите на множители:

1) $ (x+y)^2-z^2+x+y+z; $

2) $ a^4-a^3b+ab^3-b^4. $

1) Дано выражение $(x+y)^2-z^2+x+y+z$.
Первые два слагаемых $(x+y)^2-z^2$ представляют собой разность квадратов. Разложим их по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = x+y$ и $b = z$:
$(x+y)^2-z^2 = (x+y-z)(x+y+z)$.
Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:
$(x+y-z)(x+y+z) + x+y+z$.
Сгруппируем последние три слагаемых: $(x+y+z)$.
$(x+y-z)(x+y+z) + 1 \cdot (x+y+z)$.
Теперь мы видим общий множитель $(x+y+z)$, который можно вынести за скобки:
$(x+y+z)((x+y-z) + 1)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x+y+z)(x+y-z+1)$.
Ответ: $(x+y+z)(x+y-z+1)$.

2) Дано выражение $a^4-a^3b+ab^3-b^4$.
Применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(a^4-a^3b) + (ab^3-b^4)$.
Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^3$, а из второй — $b^3$:
$a^3(a-b) + b^3(a-b)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(a-b)$, который мы также выносим за скобки:
$(a-b)(a^3+b^3)$.
Выражение во второй скобке $a^3+b^3$ является суммой кубов. Разложим его по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

5.125. Из пункта А вышла грузовая машина на со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. Через сколько часов после своего выезда легковая машина догонит грузовую?

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода.

Способ 1: С использованием скорости сближения

1. Сначала определим, на какое расстояние грузовая машина отъехала от пункта А за те 2 часа, пока легковая машина еще не начала движение. Это расстояние будет начальной дистанцией между ними.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Расстояние, которое проехала грузовая машина, создав фору: $S_{фора} = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.

2. Далее найдем скорость сближения. Так как легковая машина догоняет грузовую, их скорость сближения равна разности их скоростей.

$v_{сближения} = v_{легковая} - v_{грузовая} = 90 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$.

Это означает, что каждый час легковая машина сокращает расстояние до грузовой на 30 километров.

3. Зная начальное расстояние (120 км) и скорость сближения (30 км/ч), можно вычислить время, которое потребуется легковой машине, чтобы догнать грузовую. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения.

$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{120 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 4 \text{ часа}$.

Способ 2: Через составление уравнения

Пусть $t$ — это искомое время (в часах), которое ехала легковая машина до момента, когда она догнала грузовую. За это время она проехала расстояние $S_{легковая} = 90 \cdot t$.

Грузовая машина была в пути на 2 часа дольше, то есть ее общее время в пути составляет $(t + 2)$ часа. За это время она проехала расстояние $S_{грузовая} = 60 \cdot (t + 2)$.

В момент встречи обе машины проедут одинаковое расстояние от пункта А, поэтому мы можем приравнять пройденные ими расстояния: $S_{легковая} = S_{грузовая}$.

Составим и решим уравнение:

$90t = 60(t + 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$90t = 60t + 120$

Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения:

$90t - 60t = 120$

$30t = 120$

Найдем $t$:

$t = \frac{120}{30}$

$t = 4$

Таким образом, время, через которое легковая машина догонит грузовую, составляет 4 часа.

Ответ: легковая машина догонит грузовую через 4 часа после своего выезда.