Страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.87. Разложите на множители:

1) $(a+b)^3-(a-b)^3;$

2) $(2x+y)^3+(x-2y)^3;$

3) $(2mn-1)^3+1;$

4) $(3a-2b)^3+8b^3.$

1) Для разложения выражения $(a+b)^3 - (a-b)^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
В данном случае $x = a+b$, а $y = a-b$.
Найдём первый множитель $(x-y)$:
$x-y = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b$.
Найдём второй множитель $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$y^2 = (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$xy = (a+b)(a-b) = a^2-b^2$
Теперь сложим эти три выражения:
$x^2+xy+y^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 3a^2+b^2$.
Таким образом, исходное выражение равно произведению найденных множителей:
$(a+b)^3 - (a-b)^3 = (2b)(3a^2+b^2)$.
Ответ: $2b(3a^2+b^2)$.

2) Для разложения выражения $(2x+y)^3 + (x-2y)^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A = 2x+y$, а $B = x-2y$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (2x+y) + (x-2y) = 3x-y$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2$
$B^2 = (x-2y)^2 = x^2-4xy+4y^2$
$AB = (2x+y)(x-2y) = 2x^2 - 4xy + xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2$
Теперь подставим эти выражения в $A^2-AB+B^2$:
$(4x^2+4xy+y^2) - (2x^2-3xy-2y^2) + (x^2-4xy+4y^2) = 4x^2+4xy+y^2-2x^2+3xy+2y^2+x^2-4xy+4y^2 = 3x^2+3xy+7y^2$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(2x+y)^3 + (x-2y)^3 = (3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.
Ответ: $(3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.

3) Выражение $(2mn-1)^3 + 1$ можно представить как сумму кубов, так как $1 = 1^3$. Воспользуемся формулой $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 2mn-1$, а $B = 1$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (2mn-1) + 1 = 2mn$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (2mn-1)^2 = 4m^2n^2-4mn+1$
$B^2 = 1^2 = 1$
$AB = (2mn-1) \cdot 1 = 2mn-1$
Подставим в выражение для второго множителя:
$A^2-AB+B^2 = (4m^2n^2-4mn+1) - (2mn-1) + 1 = 4m^2n^2-4mn+1-2mn+1+1 = 4m^2n^2-6mn+3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$(2mn-1)^3 + 1 = 2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.
Ответ: $2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.

4) Выражение $(3a-2b)^3 + 8b^3$ можно представить как сумму кубов, так как $8b^3 = (2b)^3$. Применим формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В этом случае $A = 3a-2b$, а $B = 2b$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (3a-2b) + 2b = 3a$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (3a-2b)^2 = 9a^2-12ab+4b^2$
$B^2 = (2b)^2 = 4b^2$
$AB = (3a-2b)(2b) = 6ab-4b^2$
Подставим найденные части во второй множитель:
$A^2-AB+B^2 = (9a^2-12ab+4b^2) - (6ab-4b^2) + 4b^2 = 9a^2-12ab+4b^2-6ab+4b^2+4b^2 = 9a^2-18ab+12b^2$.
Во втором множителе можно вынести общий множитель 3 за скобки: $3(3a^2-6ab+4b^2)$.
Тогда итоговое разложение будет:
$(3a) \cdot (9a^2-18ab+12b^2) = (3a) \cdot 3(3a^2-6ab+4b^2) = 9a(3a^2-6ab+4b^2)$.
Ответ: $9a(3a^2-6ab+4b^2)$.

5.88. Разложите на множители:

1) $a^3+b^3-2ab(a+b)$;

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2)$;

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2$;

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2)$.

1) $a^3+b^3-2ab(a+b)$
Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставим это выражение в исходное:
$(a+b)(a^2-ab+b^2) - 2ab(a+b)$
Теперь мы видим общий множитель $(a+b)$, который можно вынести за скобки:
$(a+b)((a^2-ab+b^2) - 2ab)$
Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$(a+b)(a^2-ab+b^2-2ab) = (a+b)(a^2-3ab+b^2)$
Ответ: $(a+b)(a^2-3ab+b^2)$

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2)$
Применим формулу разности кубов: $m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
$(m-n)(m^2+mn+n^2) - 6m(m^2+mn+n^2)$
Вынесем общий множитель $(m^2+mn+n^2)$ за скобки:
$(m^2+mn+n^2)((m-n) - 6m)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(m^2+mn+n^2)(m-n-6m) = (m^2+mn+n^2)(-5m-n)$
Для удобства вынесем знак минус из второй скобки:
$-(m^2+mn+n^2)(5m+n)$
Ответ: $-(5m+n)(m^2+mn+n^2)$

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3-y^3) + (8x^2y-8xy^2)$.
Разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $8xy$.
$(x-y)(x^2+xy+y^2) + 8xy(x-y)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x-y)$:
$(x-y)((x^2+xy+y^2) + 8xy)$
Упростим выражение во второй скобке, сложив подобные члены:
$(x-y)(x^2+xy+y^2+8xy) = (x-y)(x^2+9xy+y^2)$
Ответ: $(x-y)(x^2+9xy+y^2)$

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2)$
Воспользуемся формулой суммы кубов: $p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$.
$(p+q)(p^2-pq+q^2) - 2pq(p^2-pq+q^2)$
Вынесем общий множитель $(p^2-pq+q^2)$ за скобки:
$(p^2-pq+q^2)((p+q) - 2pq)$
Выражение во второй скобке $(p+q-2pq)$ дальнейшему упрощению не подлежит.
Ответ: $(p^2-pq+q^2)(p+q-2pq)$

5.89. Представьте в виде произведения:

1) $8a^3+6a^2+3a+1$;

2) $x^3-4x^2+20x-125$;

3) $m^4+mn^3-m^3n-n^4$;

4) $c^4+c^3y-cy^3-y^4$.

1) $8a^3+6a^2+3a+1$

Для разложения на множители данного многочлена применим метод группировки. Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и третье:

$8a^3+6a^2+3a+1 = (8a^3+1) + (6a^2+3a)$

Первую группу $(8a^3+1)$ разложим на множители по формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. В нашем случае $x=2a$ и $y=1$.

$8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2) = (2a+1)(4a^2-2a+1)$

Во второй группе $(6a^2+3a)$ вынесем за скобки общий множитель $3a$:

$6a^2+3a = 3a(2a+1)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(8a^3+1) + (6a^2+3a) = (2a+1)(4a^2-2a+1) + 3a(2a+1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(2a+1)$:

$(2a+1)[(4a^2-2a+1) + 3a] = (2a+1)(4a^2-2a+3a+1) = (2a+1)(4a^2+a+1)$

Квадратный трехчлен $4a^2+a+1$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Ответ: $(2a+1)(4a^2+a+1)$.

2) $x^3-4x^2+20x-125$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и третье:

$x^3-4x^2+20x-125 = (x^3-125) - (4x^2-20x)$

Первую группу $(x^3-125)$ разложим на множители по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае $a=x$ и $b=5$.

$x^3-125 = x^3-5^3 = (x-5)(x^2+5x+25)$

Во второй группе $-(4x^2-20x)$ вынесем за скобки общий множитель $-4x$:

$-(4x^2-20x) = -4x(x-5)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x-5)(x^2+5x+25) - 4x(x-5)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x-5)$:

$(x-5)[(x^2+5x+25) - 4x] = (x-5)(x^2+5x-4x+25) = (x-5)(x^2+x+25)$

Квадратный трехчлен $x^2+x+25$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 1 - 100 = -99 < 0$.

Ответ: $(x-5)(x^2+x+25)$.

3) $m^4+mn^3-m^3n-n^4$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с третьим и второе с четвертым:

$m^4+mn^3-m^3n-n^4 = (m^4-m^3n) + (mn^3-n^4)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m^3$:

$m^4-m^3n = m^3(m-n)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $n^3$:

$mn^3-n^4 = n^3(m-n)$

Подставим полученные выражения обратно:

$m^3(m-n) + n^3(m-n)$

Вынесем за скобки общий множитель $(m-n)$:

$(m-n)(m^3+n^3)$

Выражение в скобках $(m^3+n^3)$ является суммой кубов и раскладывается по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$

Ответ: $(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

4) $c^4+c^3y-cy^3-y^4$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с последним и второе с третьим:

$c^4+c^3y-cy^3-y^4 = (c^4-y^4) + (c^3y-cy^3)$

Первую группу $(c^4-y^4)$ разложим как разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$c^4-y^4 = (c^2)^2-(y^2)^2 = (c^2-y^2)(c^2+y^2) = (c-y)(c+y)(c^2+y^2)$

Во второй группе $(c^3y-cy^3)$ вынесем за скобки общий множитель $cy$:

$c^3y-cy^3 = cy(c^2-y^2) = cy(c-y)(c+y)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(c-y)(c+y)(c^2+y^2) + cy(c-y)(c+y)$

Вынесем за скобки общие множители $(c-y)(c+y)$:

$(c-y)(c+y)[(c^2+y^2) + cy] = (c-y)(c+y)(c^2+cy+y^2)$

Ответ: $(c-y)(c+y)(c^2+cy+y^2)$.

5.90. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1);$

2) $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12});$

3) $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20});$

4) $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4).$

1) $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1)$

Для преобразования данного произведения в многочлен воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

В нашем выражении, исходя из первого множителя $(3x^3-1)$, можно предположить, что $a = 3x^3$ и $b = 1$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(9x^6+3x^3+1)$ части формулы $(a^2+ab+b^2)$:

$a^2 = (3x^3)^2 = 9x^6$;

$ab = (3x^3) \cdot 1 = 3x^3$;

$b^2 = 1^2 = 1$.

Поскольку все части совпадают ($9x^6+3x^3+1$), мы можем применить формулу разности кубов.

$(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1) = (3x^3)^3 - 1^3 = 27x^9 - 1$.

Ответ: $27x^9 - 1$.

2) $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12})$

Данное выражение также является произведением, которое можно свернуть по формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

Здесь $a = a^5$ и $b = 3b^6$.

Проверим второй множитель $(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12})$:

$a^2 = (a^5)^2 = a^{10}$;

$ab = a^5 \cdot 3b^6 = 3a^5b^6$;

$b^2 = (3b^6)^2 = 9b^{12}$.

Второй множитель соответствует неполному квадрату суммы, поэтому применяем формулу:

$(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12}) = (a^5)^3 - (3b^6)^3 = a^{15} - 27b^{18}$.

Ответ: $a^{15} - 27b^{18}$.

3) $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$

В этом случае используется формула "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Из первого множителя $(m^3+n^{10})$ определяем, что $a = m^3$ и $b = n^{10}$.

Проверяем второй множитель $(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ на соответствие выражению $(a^2-ab+b^2)$:

$a^2 = (m^3)^2 = m^6$;

$ab = m^3 \cdot n^{10} = m^3n^{10}$;

$b^2 = (n^{10})^2 = n^{20}$.

Второй множитель $(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ является неполным квадратом разности $a$ и $b$. Применяем формулу суммы кубов:

$(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20}) = (m^3)^3 + (n^{10})^3 = m^9 + n^{30}$.

Ответ: $m^9 + n^{30}$.

4) $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4)$

Здесь также применяется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

В данном выражении $a = 7b^2$ и $b = 2$.

Проверяем второй множитель $(49b^4-14b^2+4)$:

$a^2 = (7b^2)^2 = 49b^4$;

$ab = 7b^2 \cdot 2 = 14b^2$;

$b^2 = 2^2 = 4$.

Второй множитель соответствует выражению $(a^2-ab+b^2)$, поэтому мы можем применить формулу:

$(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4) = (7b^2)^3 + 2^3 = 343b^6 + 8$.

Ответ: $343b^6 + 8$.

5.91. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^3+8b^3$;

2) $27-(x-2)^3$;

3) $(m+1)^3+64$.

1) Для разложения выражения $(a-2b)^3+8b^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Сначала представим исходное выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $8b^3 = (2b)^3$. Таким образом, получаем:

$(a-2b)^3+8b^3 = (a-2b)^3+(2b)^3$.

Теперь мы можем применить формулу, где $x = a-2b$ и $y = 2b$:

$((a-2b)+2b)((a-2b)^2-(a-2b)(2b)+(2b)^2)$

Упростим выражение в первой скобке:

$(a-2b)+2b = a$.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(a-2b)^2-(a-2b)(2b)+(2b)^2 = (a^2-4ab+4b^2) - (2ab-4b^2) + 4b^2 = a^2-4ab+4b^2-2ab+4b^2+4b^2 = a^2-6ab+12b^2$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$a(a^2-6ab+12b^2)$.

Ответ: $a(a^2-6ab+12b^2)$.

2) Для разложения выражения $27-(x-2)^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде разности кубов. Заметим, что $27 = 3^3$. Таким образом, получаем:

$27-(x-2)^3 = 3^3-(x-2)^3$.

Применим формулу, где $x = 3$ и $y = x-2$:

$(3-(x-2))(3^2+3(x-2)+(x-2)^2)$.

Упростим выражение в первой скобке:

$3-(x-2) = 3-x+2 = 5-x$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$3^2+3(x-2)+(x-2)^2 = 9 + (3x-6) + (x^2-4x+4) = 9+3x-6+x^2-4x+4 = x^2-x+7$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$(5-x)(x^2-x+7)$.

Ответ: $(5-x)(x^2-x+7)$.

3) Для разложения выражения $(m+1)^3+64$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $64 = 4^3$. Таким образом, получаем:

$(m+1)^3+64 = (m+1)^3+4^3$.

Применим формулу, где $x = m+1$ и $y = 4$:

$((m+1)+4)((m+1)^2-(m+1)(4)+4^2)$.

Упростим выражение в первой скобке:

$(m+1)+4 = m+5$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(m+1)^2-(m+1)(4)+4^2 = (m^2+2m+1) - (4m+4) + 16 = m^2+2m+1-4m-4+16 = m^2-2m+13$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$(m+5)(m^2-2m+13)$.

Ответ: $(m+5)(m^2-2m+13)$.

5.92. Докажите, что при каждом натуральном значении $n$ выражение:

1) $(2n+3)^3-(2n-1)^3+4$ делится на 16;

2) $(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3$ делится на 21.

1) Докажем, что выражение $(2n+3)^3-(2n-1)^3+4$ делится на 16 для любого натурального $n$.
Для этого упростим выражение, раскрыв скобки с помощью формул куба суммы и куба разности: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.
$(2n+3)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2n \cdot 3^2 + 3^3 = 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27$.
$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(2n+3)^3 - (2n-1)^3 + 4 = (8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + 4$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 + 12n^2 - 6n + 1 + 4 = (36n^2+12n^2) + (54n-6n) + (27+1+4) = 48n^2 + 48n + 32$.
Вынесем общий множитель 16 за скобки:
$48n^2 + 48n + 32 = 16(3n^2 + 3n + 2)$.
Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $3n^2 + 3n + 2$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда представимо в виде произведения $16$ на целое число, а значит, оно делится на $16$ без остатка.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что выражение $(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3$ делится на 21 для любого натурального $n$.
Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения:
$(5n+1)^3 = (5n)^3 + 3 \cdot (5n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5n \cdot 1^2 + 1^3 = 125n^3 + 75n^2 + 15n + 1$.
$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3 = (125n^3 + 75n^2 + 15n + 1) + (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 7n^3$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(125n^3+8n^3-7n^3) + (75n^2-12n^2) + (15n+6n) + (1-1) = 126n^3 + 63n^2 + 21n$.
Вынесем общий множитель 21 за скобки:
$126n^3 + 63n^2 + 21n = 21(6n^3 + 3n^2 + n)$.
Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $6n^3 + 3n^2 + n$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда представимо в виде произведения $21$ на целое число, а значит, оно делится на $21$ без остатка.
Ответ: Что и требовалось доказать.

5.93. Разложите на множители:

1) $a^{3n}-b^{6m}$;

2) $8x^{9k}+27y^{6p}$;

3) $\frac{a^{6m}}{64}-125c^{27n}$.

1) Для разложения на множители выражения $a^{3n}-b^{6m}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $a^{3n} = (a^n)^3$. Второй член: $b^{6m} = b^{2m \cdot 3} = (b^{2m})^3$. Теперь выражение имеет вид $(a^n)^3 - (b^{2m})^3$. Подставим $x = a^n$ и $y = b^{2m}$ в формулу разности кубов: $(a^n - b^{2m})((a^n)^2 + a^n \cdot b^{2m} + (b^{2m})^2)$. Упростим выражение вo второй скобке: $(a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^n b^{2m} + b^{4m})$.
Ответ: $(a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^n b^{2m} + b^{4m})$.

2) Для разложения на множители выражения $8x^{9k}+27y^{6p}$ используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $8x^{9k} = 2^3 \cdot x^{3k \cdot 3} = (2x^{3k})^3$. Второй член: $27y^{6p} = 3^3 \cdot y^{2p \cdot 3} = (3y^{2p})^3$. Теперь выражение имеет вид $(2x^{3k})^3 + (3y^{2p})^3$. Подставим $x = 2x^{3k}$ и $y = 3y^{2p}$ в формулу суммы кубов: $(2x^{3k} + 3y^{2p})((2x^{3k})^2 - (2x^{3k})(3y^{2p}) + (3y^{2p})^2)$. Упростим выражение во второй скобке: $(2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.
Ответ: $(2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.

3) Для разложения на множители выражения $\frac{a^{6m}}{64} - 125c^{27n}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $\frac{a^{6m}}{64} = \frac{(a^{2m})^3}{4^3} = \left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^3$. Второй член: $125c^{27n} = 5^3 \cdot c^{9n \cdot 3} = (5c^{9n})^3$. Теперь выражение имеет вид $\left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^3 - (5c^{9n})^3$. Подставим $x = \frac{a^{2m}}{4}$ и $y = 5c^{9n}$ в формулу разности кубов: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^2 + \left(\frac{a^{2m}}{4}\right)(5c^{9n}) + (5c^{9n})^2\right)$. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n}\right)$.
Ответ: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n}\right)$.

5.94. Докажите, что сумма:

1) $1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5;

2) $1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.

Для решения обоих пунктов задачи воспользуемся формулой суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$S_n = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

1)

Необходимо доказать, что сумма $S_9 = 1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5.

В данном случае $n=9$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму $S_9$:

$S_9 = \left(\frac{9(9+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \cdot 10}{2}\right)^2 = (45)^2$

Поскольку число 45 кратно 5 (так как $45 = 5 \cdot 9$), то и его квадрат $45^2$ также будет кратен 5. Для наглядности можно записать:

$S_9 = 45^2 = (5 \cdot 9)^2 = 5^2 \cdot 9^2 = 25 \cdot 81$

Полученное число $25 \cdot 81$ очевидно делится на 5, так как содержит множитель 25, который кратен 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5.

2)

Необходимо доказать, что сумма $S_{49} = 1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.

В данном случае $n=49$. Подставим это значение в формулу для вычисления суммы $S_{49}$:

$S_{49} = \left(\frac{49(49+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{49 \cdot 50}{2}\right)^2 = (49 \cdot 25)^2$

Основание степени в полученном выражении, $49 \cdot 25$, содержит множитель 25, а значит, делится на 25. Следовательно, и квадрат этого числа, то есть сама сумма $S_{49}$, делится на 25. Для наглядности:

$S_{49} = (49 \cdot 25)^2 = 49^2 \cdot 25^2$

Так как результат содержит множитель $25^2$, он очевидно делится на 25. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.

5.95. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:

1) $(3a-1)(3a+1)-(3a-1)^2$ при $a=0,3$;

2) $(5+2x)^2-2,5x(8x+7)$ при $x=-0,5$.

1)

Сначала упростим выражение $(3a-1)(3a+1)-(3a-1)^2$.

Первая часть выражения $(3a-1)(3a+1)$ является разностью квадратов, которая раскрывается по формуле $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(3a-1)(3a+1) = (3a)^2 - 1^2 = 9a^2 - 1$

Вторая часть выражения $(3a-1)^2$ является квадратом разности, который раскрывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(3a-1)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(9a^2 - 1) - (9a^2 - 6a + 1)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$9a^2 - 1 - 9a^2 + 6a - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(9a^2 - 9a^2) + 6a + (-1 - 1) = 0 + 6a - 2 = 6a - 2$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a=0,3$.

$6 \cdot 0,3 - 2 = 1,8 - 2 = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

2)

Сначала упростим выражение $(5+2x)^2 - 2,5x(8x+7)$.

Первая часть выражения $(5+2x)^2$ является квадратом суммы, который раскрывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(5+2x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 + 20x + 4x^2$

Во второй части выражения $-2,5x(8x+7)$ раскроем скобки, умножив $-2,5x$ на каждый член в скобках:

$-2,5x \cdot 8x - 2,5x \cdot 7 = -20x^2 - 17,5x$

Теперь объединим обе части:

$(25 + 20x + 4x^2) + (-20x^2 - 17,5x) = 25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17,5x$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 20x^2) + (20x - 17,5x) + 25 = -16x^2 + 2,5x + 25$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x=-0,5$.

$-16(-0,5)^2 + 2,5(-0,5) + 25$

$-16 \cdot (0,25) - 1,25 + 25$

$-4 - 1,25 + 25$

$-5,25 + 25 = 19,75$

Ответ: $19,75$.

5.96. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой $y = \frac{1}{2}x^2$, точки $A(-2; 2); B(4; 8); C\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты в уравнение функции $y = \frac{1}{2}x^2$. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, если неверное — то не принадлежит.

A(-2; 2)

Подставим координаты точки $x = -2$ и $y = 2$ в уравнение функции:

$2 = \frac{1}{2} \cdot (-2)^2$

$2 = \frac{1}{2} \cdot 4$

$2 = 2$

Получилось верное равенство, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

B(4; 8)

Подставим координаты точки $x = 4$ и $y = 8$ в уравнение функции:

$8 = \frac{1}{2} \cdot 4^2$

$8 = \frac{1}{2} \cdot 16$

$8 = 8$

Получилось верное равенство, следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

C($-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$)

Подставим координаты точки $x = -\frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{4}$ в уравнение функции:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^2$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

Получилось неверное равенство, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.