Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.63. Разложите на множители:

1) $a^2+b^2+2ab-1;$

2) $4-25m^2+10mn-n^2;$

3) $81x^2+6ab-9a^2-b^2;$

4) $x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1.$

1) В выражении $a^2+b^2+2ab-1$ сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Подставив это в исходное выражение, получим:
$(a^2+2ab+b^2) - 1 = (a+b)^2 - 1$.
Теперь мы видим формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a+b$ и $y=1$.
$(a+b)^2 - 1^2 = (a+b-1)(a+b+1)$.
Ответ: $(a+b-1)(a+b+1)$.

2) В выражении $4-25m^2+10mn-n^2$ сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$4 - (25m^2-10mn+n^2)$.
Выражение в скобках $25m^2-10mn+n^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=5m$ и $y=n$.
$25m^2-10mn+n^2 = (5m-n)^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$4 - (5m-n)^2$.
Это разность квадратов, так как $4=2^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=2$ и $y=5m-n$.
$2^2 - (5m-n)^2 = (2-(5m-n))(2+(5m-n)) = (2-5m+n)(2+5m-n)$.
Ответ: $(2-5m+n)(2+5m-n)$.

3) В выражении $81x^2+6ab-9a^2-b^2$ сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и вынесем знак минус за скобки:
$81x^2 - (9a^2-6ab+b^2)$.
Выражение в скобках $9a^2-6ab+b^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=3a$ и $y=b$.
$9a^2-6ab+b^2 = (3a-b)^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$81x^2 - (3a-b)^2$.
Мы получили разность квадратов, так как $81x^2=(9x)^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=9x$ и $y=3a-b$.
$(9x)^2 - (3a-b)^2 = (9x-(3a-b))(9x+(3a-b)) = (9x-3a+b)(9x+3a-b)$.
Ответ: $(9x-3a+b)(9x+3a-b)$.

4) В выражении $x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1$ перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $-4xy$ как $-2xy-2xy$.
$x^2y^2-2xy-2xy-x^2-y^2+1$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x^2y^2-2xy+1) + (-x^2-y^2-2xy)$.
Вынесем знак минус из второй скобки:
$(x^2y^2-2xy+1) - (x^2+2xy+y^2)$.
Первая скобка представляет собой квадрат разности: $(xy-1)^2$.
Вторая скобка представляет собой квадрат суммы: $(x+y)^2$.
Таким образом, выражение преобразуется в:
$(xy-1)^2 - (x+y)^2$.
Это разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A = xy-1$ и $B = x+y$.
Применим формулу:
$((xy-1)-(x+y))((xy-1)+(x+y)) = (xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$.
Ответ: $(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$.

5.64. Решите уравнение:

1) $x^3-6x^2=6-x$;

2) $y^3+3y^2-4y-12=0$;

3) $2x^3-x^2-18x+9=0$;

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0$;

5) $2x^3-x^2-32x+16=0$;

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79$.

1) $x^3-6x^2=6-x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $P(x)=0$:
$x^3-6x^2+x-6=0$
Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:
$(x^3-6x^2)+(x-6)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(x-6)+1(x-6)=0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-6)$ за скобки:
$(x-6)(x^2+1)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x-6=0 \implies x=6$
2. $x^2+1=0 \implies x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $6$

2) $y^3+3y^2-4y-12=0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:
$(y^3+3y^2)-(4y+12)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$y^2(y+3)-4(y+3)=0$
Вынесем общий множитель $(y+3)$ за скобки:
$(y+3)(y^2-4)=0$
Выражение $y^2-4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(y-2)(y+2)$.
$(y+3)(y-2)(y+2)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
1. $y+3=0 \implies y_1=-3$
2. $y-2=0 \implies y_2=2$
3. $y+2=0 \implies y_3=-2$

Ответ: $-3; -2; 2$

3) $2x^3-x^2-18x+9=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2x^3-x^2)-(18x-9)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(2x-1)-9(2x-1)=0$
Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:
$(2x-1)(x^2-9)=0$
Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов: $(x-3)(x+3)$.
$(2x-1)(x-3)(x+3)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=\frac{1}{2}$
2. $x-3=0 \implies x_2=3$
3. $x+3=0 \implies x_3=-3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(4y^3-3y^2)-(4y-3)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$y^2(4y-3)-1(4y-3)=0$
Вынесем общий множитель $(4y-3)$ за скобки:
$(4y-3)(y^2-1)=0$
Выражение $y^2-1$ является разностью квадратов: $(y-1)(y+1)$.
$(4y-3)(y-1)(y+1)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $4y-3=0 \implies 4y=3 \implies y_1=\frac{3}{4}$
2. $y-1=0 \implies y_2=1$
3. $y+1=0 \implies y_3=-1$

Ответ: $-1; \frac{3}{4}; 1$

5) $2x^3-x^2-32x+16=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2x^3-x^2)-(32x-16)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(2x-1)-16(2x-1)=0$
Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:
$(2x-1)(x^2-16)=0$
Выражение $x^2-16$ является разностью квадратов: $(x-4)(x+4)$.
$(2x-1)(x-4)(x+4)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=\frac{1}{2}$
2. $x-4=0 \implies x_2=4$
3. $x+4=0 \implies x_3=-4$

Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4$

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(y^2+2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - (y^2-5^2)=79$
$(y^2+12y+36) - (y^2-25)=79$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$y^2+12y+36-y^2+25=79$
Приведем подобные слагаемые. $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.
$12y+61=79$
Перенесем 61 в правую часть уравнения:
$12y=79-61$
$12y=18$
Найдем $y$:
$y=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1.5$

Ответ: $1.5$

5.65. Докажите, что при каждом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8;

2) $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7.

1) Необходимо доказать, что значение выражения $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8 для любого натурального числа $n$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 2n+3$ и $b = 2n-1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2n+3)^2-(2n-1)^2 = ((2n+3)-(2n-1))((2n+3)+(2n-1))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(2n+3)-(2n-1) = 2n+3-2n+1 = 4$.

Вторая скобка: $(2n+3)+(2n-1) = 2n+3+2n-1 = 4n+2$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$4 \cdot (4n+2) = 16n + 8$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$16n + 8 = 8(2n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $2n+1$ также является натуральным числом. Произведение числа 8 на любое натуральное число всегда будет делиться на 8 без остатка. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что значение выражения $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8.

2) Необходимо доказать, что значение выражения $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7 для любого натурального числа $n$.

Аналогично первому пункту, применим формулу разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 5n+1$ и $b = 2n-1$.

Подставим значения в формулу:

$(5n+1)^2-(2n-1)^2 = ((5n+1)-(2n-1))((5n+1)+(2n-1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(5n+1)-(2n-1) = 5n+1-2n+1 = 3n+2$.

Вторая скобка: $(5n+1)+(2n-1) = 5n+1+2n-1 = 7n$.

Перемножим полученные выражения:

$(3n+2)(7n) = 7n(3n+2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n$ и $3n+2$ также являются натуральными числами, а их произведение $n(3n+2)$ — это натуральное число. Выражение $7n(3n+2)$ представляет собой произведение числа 7 на натуральное число. Такое произведение всегда делится на 7 без остатка. Следовательно, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что значение выражения $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7.

5.66. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис.5.4). Площадь одного квадрата на $95\, \text{см}^2$ больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Рис. 5.4

Пусть длина прямоугольника равна $a$ см, а ширина — $b$ см.

Из условия задачи известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:

$a = b + 5$

Из этого соотношения следует, что разность длины и ширины равна 5 см:

$a - b = 5$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_a = a^2$, а площадь квадрата со стороной $b$ равна $S_b = b^2$.

По условию, площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Поскольку $a > b$, то и $a^2 > b^2$. Следовательно, мы можем записать второе уравнение:

$a^2 - b^2 = 95$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к левой части этого уравнения:

$(a - b)(a + b) = 95$

Теперь мы можем подставить в это уравнение найденное ранее значение разности $(a - b) = 5$:

$5 \cdot (a + b) = 95$

Из этого уравнения найдем сумму длины и ширины прямоугольника $(a + b)$:

$a + b = \frac{95}{5}$

$a + b = 19$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Так как мы уже нашли сумму $(a + b)$, можем вычислить периметр:

$P = 2 \cdot 19 = 38$ см

Ответ: 38 см.

5.67. Представьте выражение в виде куба одночлена:

1) $64x^3$;

2) $27a^6$;

3) $8m^9$;

4) $-64x^3y^6$;

5) $-8a^9b^6$;

6) $0,027p^3q^9$.

1) Чтобы представить выражение $64x^3$ в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого извлечем кубический корень из числового коэффициента и разделим показатель степени переменной на 3.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Находим степень переменной $x$: показатель степени $3$ делим на $3$, получаем $3 / 3 = 1$. Значит, переменная будет $x^1$ или просто $x$.

Объединяем полученные части: $4x$.

Таким образом, $64x^3 = (4x)^3$.

Проверка: $(4x)^3 = 4^3 \cdot x^3 = 64x^3$.

Ответ: $(4x)^3$

2) Представим выражение $27a^6$ в виде куба одночлена.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

Находим степень переменной $a$: показатель степени $6$ делим на $3$, получаем $6 / 3 = 2$. Значит, переменная будет $a^2$.

Искомый одночлен: $3a^2$.

Таким образом, $27a^6 = (3a^2)^3$.

Проверка: $(3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27a^{2 \cdot 3} = 27a^6$.

Ответ: $(3a^2)^3$

3) Представим выражение $8m^9$ в виде куба одночлена.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Находим степень переменной $m$: показатель степени $9$ делим на $3$, получаем $9 / 3 = 3$. Значит, переменная будет $m^3$.

Искомый одночлен: $2m^3$.

Таким образом, $8m^9 = (2m^3)^3$.

Проверка: $(2m^3)^3 = 2^3 \cdot (m^3)^3 = 8m^{3 \cdot 3} = 8m^9$.

Ответ: $(2m^3)^3$

4) Представим выражение $-64x^3y^6$ в виде куба одночлена.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-64} = -4$, так как $(-4)^3 = -64$.

Находим степень переменной $x$: $3 / 3 = 1$. Переменная будет $x$.

Находим степень переменной $y$: $6 / 3 = 2$. Переменная будет $y^2$.

Искомый одночлен: $-4xy^2$.

Таким образом, $-64x^3y^6 = (-4xy^2)^3$.

Проверка: $(-4xy^2)^3 = (-4)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -64x^3y^{2 \cdot 3} = -64x^3y^6$.

Ответ: $(-4xy^2)^3$

5) Представим выражение $-8a^9b^6$ в виде куба одночлена.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$.

Находим степень переменной $a$: $9 / 3 = 3$. Переменная будет $a^3$.

Находим степень переменной $b$: $6 / 3 = 2$. Переменная будет $b^2$.

Искомый одночлен: $-2a^3b^2$.

Таким образом, $-8a^9b^6 = (-2a^3b^2)^3$.

Проверка: $(-2a^3b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = -8a^{3 \cdot 3}b^{2 \cdot 3} = -8a^9b^6$.

Ответ: $(-2a^3b^2)^3$

6) Представим выражение $0,027p^3q^9$ в виде куба одночлена.

Находим корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,027} = 0,3$, так как $(0,3)^3 = 0,027$.

Находим степень переменной $p$: $3 / 3 = 1$. Переменная будет $p$.

Находим степень переменной $q$: $9 / 3 = 3$. Переменная будет $q^3$.

Искомый одночлен: $0,3pq^3$.

Таким образом, $0,027p^3q^9 = (0,3pq^3)^3$.

Проверка: $(0,3pq^3)^3 = (0,3)^3 \cdot p^3 \cdot (q^3)^3 = 0,027p^3q^{3 \cdot 3} = 0,027p^3q^9$.

Ответ: $(0,3pq^3)^3$

5.68. Представьте в виде квадрата двучлена:

1) $4a^2b^2+4ab+1$;

2) $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$.

1) Чтобы представить выражение $4a^2b^2+4ab+1$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
Определим, что в нашем выражении может соответствовать $x$ и $y$. Член $4a^2b^2$ является полным квадратом, так как $4a^2b^2=(2ab)^2$. Член $1$ также является полным квадратом: $1=1^2$.
Предположим, что $x=2ab$ и $y=1$. Теперь проверим, соответствует ли средний член $4ab$ удвоенному произведению $2xy$.
$2xy = 2 \cdot (2ab) \cdot 1 = 4ab$.
Поскольку все члены совпадают, исходное выражение можно записать как:
$4a^2b^2+4ab+1 = (2ab)^2 + 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab+1)^2$.
Ответ: $(2ab+1)^2$.

2) Выражение $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$ нужно представить в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата разности: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
Сначала определим члены, которые являются полными квадратами. Член $1$ можно записать как $1^2$. Член $\frac{x^2y^2}{4}$ можно записать как $(\frac{xy}{2})^2$.
Пусть $x=1$ и $y=\frac{xy}{2}$. Теперь проверим средний член выражения. Он должен быть равен $-2xy$.
$-2xy = -2 \cdot 1 \cdot \frac{xy}{2} = -xy$.
Это в точности совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение можно свернуть по формуле квадрата разности:
$1-xy+\frac{x^2y^2}{4} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{xy}{2} + (\frac{xy}{2})^2 = (1-\frac{xy}{2})^2$.
Ответ: $(1-\frac{xy}{2})^2$.

5.69. Докажите равенство:

1) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3;$

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$

1) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

Для доказательства этого равенства, которое является формулой суммы кубов, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(a+b)$ на каждый член второго многочлена $(a^2-ab+b^2)$.

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a \cdot (a^2-ab+b^2) + b \cdot (a^2-ab+b^2)$

Выполним почленное умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3$

Как мы видим, слагаемые $-a^2b$ и $a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и слагаемые $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $a^3+b^3 = a^3+b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ доказано.

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

Для доказательства этого равенства, известного как формула разности кубов, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a-b)$ на многочлен $(a^2+ab+b^2)$.

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot (a^2+ab+b^2) - b \cdot (a^2+ab+b^2)$

Выполним почленное умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3$

Слагаемые $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и слагаемые $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате мы получили, что левая часть равенства равна правой: $a^3-b^3 = a^3-b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ доказано.

5.70. Разложите на множители:

1) $12a^3x-36a^2bx+27ab^2x$;

2) $2a^2b^3-28ab^2+98b$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x$, первым шагом вынесем за скобки общий множитель.
Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12, 36 и 27. НОД(12, 36, 27) = 3.
Находим общие переменные в наименьшей степени. Для $a$ это $a^1=a$, для $b$ общего множителя нет, для $x$ это $x^1=x$.
Таким образом, общий множитель для всех членов выражения - это $3ax$.
Выносим $3ax$ за скобки:
$12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x = 3ax(4a^2 - 12ab + 9b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно представить с помощью формулы сокращенного умножения: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
В нашем случае:
$m^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $m=2a$.
$n^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $n=3b$.
Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 12ab$.
Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в квадрат разности:
$4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.
Подставим это обратно в наше разложение:
$3ax(2a - 3b)^2$.
Ответ: $3ax(2a-3b)^2$.

2) Разложим на множители выражение $2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b$.
Сначала вынесем за скобки общий множитель.
НОД для коэффициентов 2, 28 и 98 равен 2.
Общая переменная в наименьшей степени - это $b$.
Значит, общий множитель равен $2b$.
Выносим $2b$ за скобки:
$2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b = 2b(a^2b^2 - 14ab + 49)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $a^2b^2 - 14ab + 49$. Оно также является полным квадратом разности по формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
В данном случае:
$m^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, значит $m=ab$.
$n^2 = 49 = 7^2$, значит $n=7$.
Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (ab) \cdot 7 = 14ab$.
Таким образом, выражение в скобках сворачивается в:
$a^2b^2 - 14ab + 49 = (ab - 7)^2$.
Окончательный вид разложения на множители:
$2b(ab - 7)^2$.
Ответ: $2b(ab-7)^2$.

5.71. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то он опоздает к отправлению поезда на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то он придет на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

Решение:

Пусть $S$ – искомое расстояние до станции в километрах. Пусть $v_1 = 4$ км/ч – скорость туриста в первом случае, а $v_2 = 5$ км/ч – скорость во втором случае.

Время, которое турист затратит на путь в первом случае, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{4}$ часа. Время, которое он затратит во втором случае, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{5}$ часа.

В первом случае турист опаздывает на 30 минут (0.5 часа), а во втором приходит на 6 минут (0.1 часа) раньше. Это означает, что разница во времени движения между первым и вторым случаем составляет сумму этих временных промежутков.

Разница во времени: $\Delta t = 30 \text{ мин} + 6 \text{ мин} = 36 \text{ мин}$.

Переведем эту разницу в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ часа} = \frac{6}{10} \text{ часа} = 0.6 \text{ часа}$.

Теперь мы можем составить уравнение, так как разница $t_1 - t_2$ нам известна: $t_1 - t_2 = 0.6$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 0.6$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю, который равен 20: $\frac{5S}{20} - \frac{4S}{20} = 0.6$

$\frac{5S - 4S}{20} = 0.6$

$\frac{S}{20} = 0.6$

Теперь найдем $S$: $S = 0.6 \cdot 20$

$S = 12$

Таким образом, расстояние, которое должен пройти турист, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.