Номер 5.68, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.68. Представьте в виде квадрата двучлена:

1) $4a^2b^2+4ab+1$;

2) $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$.

1) Чтобы представить выражение $4a^2b^2+4ab+1$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
Определим, что в нашем выражении может соответствовать $x$ и $y$. Член $4a^2b^2$ является полным квадратом, так как $4a^2b^2=(2ab)^2$. Член $1$ также является полным квадратом: $1=1^2$.
Предположим, что $x=2ab$ и $y=1$. Теперь проверим, соответствует ли средний член $4ab$ удвоенному произведению $2xy$.
$2xy = 2 \cdot (2ab) \cdot 1 = 4ab$.
Поскольку все члены совпадают, исходное выражение можно записать как:
$4a^2b^2+4ab+1 = (2ab)^2 + 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab+1)^2$.
Ответ: $(2ab+1)^2$.

2) Выражение $1-xy+\frac{x^2y^2}{4}$ нужно представить в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата разности: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
Сначала определим члены, которые являются полными квадратами. Член $1$ можно записать как $1^2$. Член $\frac{x^2y^2}{4}$ можно записать как $(\frac{xy}{2})^2$.
Пусть $x=1$ и $y=\frac{xy}{2}$. Теперь проверим средний член выражения. Он должен быть равен $-2xy$.
$-2xy = -2 \cdot 1 \cdot \frac{xy}{2} = -xy$.
Это в точности совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение можно свернуть по формуле квадрата разности:
$1-xy+\frac{x^2y^2}{4} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{xy}{2} + (\frac{xy}{2})^2 = (1-\frac{xy}{2})^2$.
Ответ: $(1-\frac{xy}{2})^2$.