Номер 5.73, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.73. Разложите многочлен на множители:

1) $27-8a^3$;

2) $8x^3+y^3$;

3) $27a^3-8b^3$;

4) $1+64y^3$;

5) $125x^3-27y^3$;

6) $1-8b^3$;

7) $8+\frac{1}{8}a^3$;

8) $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$.

Для решения всех пунктов этого задания используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

1) $27-8a^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $27 = 3^3$ и $8a^3 = (2a)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $3$, а $b$ на $2a$:
$27 - 8a^3 = 3^3 - (2a)^3 = (3-2a)(3^2 + 3 \cdot 2a + (2a)^2) = (3-2a)(9+6a+4a^2)$.
Ответ: $(3-2a)(9+6a+4a^2)$.

2) $8x^3+y^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $2x$, а $b$ на $y$:
$8x^3+y^3 = (2x)^3+y^3 = (2x+y)((2x)^2 - 2x \cdot y + y^2) = (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.
Ответ: $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

3) $27a^3-8b^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $27a^3 = (3a)^3$ и $8b^3 = (2b)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $3a$, а $b$ на $2b$:
$27a^3-8b^3 = (3a)^3 - (2b)^3 = (3a-2b)((3a)^2 + 3a \cdot 2b + (2b)^2) = (3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$.
Ответ: $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$.

4) $1+64y^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $64y^3 = (4y)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $1$, а $b$ на $4y$:
$1+64y^3 = 1^3 + (4y)^3 = (1+4y)(1^2 - 1 \cdot 4y + (4y)^2) = (1+4y)(1-4y+16y^2)$.
Ответ: $(1+4y)(1-4y+16y^2)$.

5) $125x^3-27y^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $125x^3 = (5x)^3$ и $27y^3 = (3y)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $5x$, а $b$ на $3y$:
$125x^3-27y^3 = (5x)^3 - (3y)^3 = (5x-3y)((5x)^2 + 5x \cdot 3y + (3y)^2) = (5x-3y)(25x^2+15xy+9y^2)$.
Ответ: $(5x-3y)(25x^2+15xy+9y^2)$.

6) $1-8b^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $8b^3 = (2b)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $1$, а $b$ на $2b$:
$1-8b^3 = 1^3 - (2b)^3 = (1-2b)(1^2 + 1 \cdot 2b + (2b)^2) = (1-2b)(1+2b+4b^2)$.
Ответ: $(1-2b)(1+2b+4b^2)$.

7) $8+\frac{1}{8}a^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $2$, а $b$ на $\frac{1}{2}a$:
$8+\frac{1}{8}a^3 = 2^3 + (\frac{1}{2}a)^3 = (2+\frac{1}{2}a)(2^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2) = (2+\frac{1}{2}a)(4-a+\frac{1}{4}a^2)$.
Ответ: $(2+\frac{1}{2}a)(4-a+\frac{1}{4}a^2)$.

8) $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $64=4^3$ и $125=5^3$, следовательно $\frac{m^3}{64} = (\frac{m}{4})^3$ и $\frac{n^3}{125} = (\frac{n}{5})^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $\frac{m}{4}$, а $b$ на $\frac{n}{5}$:
$\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125} = (\frac{m}{4})^3 + (\frac{n}{5})^3 = (\frac{m}{4}+\frac{n}{5})((\frac{m}{4})^2 - \frac{m}{4} \cdot \frac{n}{5} + (\frac{n}{5})^2) = (\frac{m}{4}+\frac{n}{5})(\frac{m^2}{16}-\frac{mn}{20}+\frac{n^2}{25})$.
Ответ: $(\frac{m}{4}+\frac{n}{5})(\frac{m^2}{16}-\frac{mn}{20}+\frac{n^2}{25})$.