Номер 5.79, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.79. Упростите выражение:

1) $(a+2)(a^2-2a+4)$;

2) $(x+3)(x^2-3x+9)$;

3) $(m-4)(m^2+4m+16)$;

4) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$;

5) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$;

6) $(1+c)(1-c+c^2)$.

1) Для упрощения выражения $(a+2)(a^2-2a+4)$ воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=2$. Проверим соответствие второго множителя: $x^2=a^2$, $xy=a \cdot 2 = 2a$, $y^2=2^2=4$.
Выражение $(a^2-2a+4)$ полностью соответствует части формулы $(x^2-xy+y^2)$.
Следовательно, $(a+2)(a^2-2a+4) = a^3 + 2^3 = a^3+8$.
Ответ: $a^3+8$.

2) Для упрощения выражения $(x+3)(x^2-3x+9)$ применим ту же формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверим второй множитель: $a^2=x^2$, $ab=x \cdot 3=3x$, $b^2=3^2=9$.
Выражение $(x^2-3x+9)$ соответствует $(a^2-ab+b^2)$.
Таким образом, $(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3+27$.
Ответ: $x^3+27$.

3) Для упрощения выражения $(m-4)(m^2+4m+16)$ воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В этом примере $a=m$ и $b=4$. Проверим второй множитель: $a^2=m^2$, $ab=m \cdot 4=4m$, $b^2=4^2=16$.
Выражение $(m^2+4m+16)$ соответствует $(a^2+ab+b^2)$.
Следовательно, $(m-4)(m^2+4m+16) = m^3 - 4^3 = m^3-64$.
Ответ: $m^3-64$.

4) Выражение $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$ упрощается с помощью формулы разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
Здесь $a=2x$ и $b=y$. Проверим второй множитель: $a^2=(2x)^2=4x^2$, $ab=(2x)y=2xy$, $b^2=y^2$.
Выражение $(4x^2+2xy+y^2)$ соответствует $(a^2+ab+b^2)$.
Поэтому, $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3-y^3$.
Ответ: $8x^3-y^3$.

5) Для упрощения $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ снова используем формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В данном случае $x=3a$ и $y=2b$. Проверим второй множитель: $x^2=(3a)^2=9a^2$, $xy=(3a)(2b)=6ab$, $y^2=(2b)^2=4b^2$.
Выражение $(9a^2+6ab+4b^2)$ соответствует $(x^2+xy+y^2)$.
Следовательно, $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3-8b^3$.
Ответ: $27a^3-8b^3$.

6) Выражение $(1+c)(1-c+c^2)$ можно упростить по формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a=1$ и $b=c$. Проверим второй множитель: $a^2=1^2=1$, $ab=1 \cdot c = c$, $b^2=c^2$.
Выражение $(1-c+c^2)$ соответствует $(a^2-ab+b^2)$.
Таким образом, $(1+c)(1-c+c^2) = 1^3 + c^3 = 1+c^3$.
Ответ: $1+c^3$.