Номер 5.81, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.81. Разложите на множители:

1) $m^3+n^3$;

2) $x^9-y^6$;

3) $a^6-8$;

4) $b^9+27$.

1) Для разложения выражения $m^3+n^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A=m$ и $B=n$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$m^3+n^3 = (m+n)(m^2-m \cdot n+n^2) = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

2) Представим выражение $x^9-y^6$ в виде разности кубов. Для этого запишем степени в следующем виде: $x^9 = (x^3)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.
Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3-B^3$, где $A=x^3$ и $B=y^2$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Подставим вместо $A$ и $B$ соответствующие выражения:
$(x^3)^3 - (y^2)^3 = (x^3-y^2)((x^3)^2 + x^3 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^3-y^2)(x^6+x^3y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^3-y^2)(x^6+x^3y^2+y^4)$.

3) Для разложения выражения $a^6-8$ на множители, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $8 = 2^3$.
Таким образом, мы имеем выражение вида $A^3-B^3$, где $A=a^2$ и $B=2$.
Применяем формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Подставляем $A=a^2$ и $B=2$ в формулу:
$(a^2)^3 - 2^3 = (a^2-2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2-2)(a^4+2a^2+4)$.
Ответ: $(a^2-2)(a^4+2a^2+4)$.

4) Выражение $b^9+27$ можно разложить на множители, представив его как сумму кубов. Заметим, что $b^9=(b^3)^3$ и $27=3^3$.
Мы получили выражение вида $A^3+B^3$, где $A=b^3$ и $B=3$.
Используем формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Подставляем наши значения $A$ и $B$ в формулу:
$(b^3)^3 + 3^3 = (b^3+3)((b^3)^2 - b^3 \cdot 3 + 3^2) = (b^3+3)(b^6-3b^3+9)$.
Ответ: $(b^3+3)(b^6-3b^3+9)$.