Номер 5.84, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.84. Докажите, что значение выражения:

1) $43^3+37^3$ делится на 80;

2) $79^3-35^3$ делится на 44.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $43^3 + 37^3$ делится на 80, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 43$ и $b = 37$:

$43^3 + 37^3 = (43 + 37)(43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Найдем значение первого множителя (суммы в скобках):

$43 + 37 = 80$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$43^3 + 37^3 = 80 \cdot (43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Второй множитель, $(43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$, является целым числом, так как состоит из произведений и разности целых чисел. Поскольку все выражение можно представить в виде произведения числа 80 и другого целого числа, это доказывает, что значение выражения $43^3 + 37^3$ делится на 80 без остатка.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $79^3 - 35^3$ делится на 44, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу, где $a = 79$ и $b = 35$:

$79^3 - 35^3 = (79 - 35)(79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Найдем значение первого множителя (разности в скобках):

$79 - 35 = 44$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$79^3 - 35^3 = 44 \cdot (79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Второй множитель, $(79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$, является целым числом. Так как все выражение представлено в виде произведения числа 44 и другого целого числа, это доказывает, что значение выражения $79^3 - 35^3$ делится на 44 нацело.

Ответ: Доказано.