Номер 5.82, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.82. Представьте в виде произведения:

1) $x^3y^3+1;$

2) $27-a^3b^3;$

3) $a^6c^3-b^3;$

4) $1-x^3y^3;$

5) $a^3b^3+64;$

6) $27x^3-y^3z^3.$

1) Чтобы представить выражение $x^3y^3+1$ в виде произведения, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба: $x^3y^3 = (xy)^3$ $1 = 1^3$
Таким образом, наше выражение - это сумма кубов $(xy)^3 + 1^3$.
Подставим $a=xy$ и $b=1$ в формулу:
$(xy)^3 + 1^3 = (xy+1)((xy)^2 - xy \cdot 1 + 1^2) = (xy+1)(x^2y^2-xy+1)$.
Ответ: $(xy+1)(x^2y^2-xy+1)$.

2) Чтобы представить выражение $27-a^3b^3$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $27 = 3^3$ $a^3b^3 = (ab)^3$
Таким образом, наше выражение - это разность кубов $3^3 - (ab)^3$.
Подставим $a=3$ и $b=ab$ в формулу:
$3^3 - (ab)^3 = (3-ab)(3^2 + 3 \cdot ab + (ab)^2) = (3-ab)(9+3ab+a^2b^2)$.
Ответ: $(3-ab)(9+3ab+a^2b^2)$.

3) Для выражения $a^6c^3-b^3$ применим формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Представим первый член в виде куба, используя свойство степеней $(x^m)^n=x^{mn}$: $a^6c^3 = (a^2)^3c^3 = (a^2c)^3$
Второй член уже является кубом: $b^3$.
Таким образом, мы имеем разность кубов $(a^2c)^3 - b^3$.
Подставим $A=a^2c$ и $B=b$ в формулу:
$(a^2c)^3 - b^3 = (a^2c-b)((a^2c)^2 + a^2c \cdot b + b^2) = (a^2c-b)(a^4c^2+a^2bc+b^2)$.
Ответ: $(a^2c-b)(a^4c^2+a^2bc+b^2)$.

4) Для выражения $1-x^3y^3$ используем формулу разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $1 = 1^3$ $x^3y^3 = (xy)^3$
Получаем разность кубов $1^3 - (xy)^3$.
Подставим $a=1$ и $b=xy$ в формулу:
$1^3 - (xy)^3 = (1-xy)(1^2 + 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1-xy)(1+xy+x^2y^2)$.
Ответ: $(1-xy)(1+xy+x^2y^2)$.

5) Для выражения $a^3b^3+64$ применим формулу суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $a^3b^3 = (ab)^3$ $64 = 4^3$
Получаем сумму кубов $(ab)^3 + 4^3$.
Подставим $a=ab$ и $b=4$ в формулу:
$(ab)^3 + 4^3 = (ab+4)((ab)^2 - ab \cdot 4 + 4^2) = (ab+4)(a^2b^2-4ab+16)$.
Ответ: $(ab+4)(a^2b^2-4ab+16)$.

6) Для выражения $27x^3-y^3z^3$ используем формулу разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $27x^3 = (3x)^3$ $y^3z^3 = (yz)^3$
Получаем разность кубов $(3x)^3 - (yz)^3$.
Подставим $a=3x$ и $b=yz$ в формулу:
$(3x)^3 - (yz)^3 = (3x-yz)((3x)^2 + 3x \cdot yz + (yz)^2) = (3x-yz)(9x^2+3xyz+y^2z^2)$.
Ответ: $(3x-yz)(9x^2+3xyz+y^2z^2)$.