Номер 5.89, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.89. Представьте в виде произведения:

1) $8a^3+6a^2+3a+1$;

2) $x^3-4x^2+20x-125$;

3) $m^4+mn^3-m^3n-n^4$;

4) $c^4+c^3y-cy^3-y^4$.

1) $8a^3+6a^2+3a+1$

Для разложения на множители данного многочлена применим метод группировки. Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и третье:

$8a^3+6a^2+3a+1 = (8a^3+1) + (6a^2+3a)$

Первую группу $(8a^3+1)$ разложим на множители по формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. В нашем случае $x=2a$ и $y=1$.

$8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2) = (2a+1)(4a^2-2a+1)$

Во второй группе $(6a^2+3a)$ вынесем за скобки общий множитель $3a$:

$6a^2+3a = 3a(2a+1)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(8a^3+1) + (6a^2+3a) = (2a+1)(4a^2-2a+1) + 3a(2a+1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(2a+1)$:

$(2a+1)[(4a^2-2a+1) + 3a] = (2a+1)(4a^2-2a+3a+1) = (2a+1)(4a^2+a+1)$

Квадратный трехчлен $4a^2+a+1$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15 < 0$.

Ответ: $(2a+1)(4a^2+a+1)$.

2) $x^3-4x^2+20x-125$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и третье:

$x^3-4x^2+20x-125 = (x^3-125) - (4x^2-20x)$

Первую группу $(x^3-125)$ разложим на множители по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае $a=x$ и $b=5$.

$x^3-125 = x^3-5^3 = (x-5)(x^2+5x+25)$

Во второй группе $-(4x^2-20x)$ вынесем за скобки общий множитель $-4x$:

$-(4x^2-20x) = -4x(x-5)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x-5)(x^2+5x+25) - 4x(x-5)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x-5)$:

$(x-5)[(x^2+5x+25) - 4x] = (x-5)(x^2+5x-4x+25) = (x-5)(x^2+x+25)$

Квадратный трехчлен $x^2+x+25$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 1 - 100 = -99 < 0$.

Ответ: $(x-5)(x^2+x+25)$.

3) $m^4+mn^3-m^3n-n^4$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с третьим и второе с четвертым:

$m^4+mn^3-m^3n-n^4 = (m^4-m^3n) + (mn^3-n^4)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m^3$:

$m^4-m^3n = m^3(m-n)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $n^3$:

$mn^3-n^4 = n^3(m-n)$

Подставим полученные выражения обратно:

$m^3(m-n) + n^3(m-n)$

Вынесем за скобки общий множитель $(m-n)$:

$(m-n)(m^3+n^3)$

Выражение в скобках $(m^3+n^3)$ является суммой кубов и раскладывается по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$

Ответ: $(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

4) $c^4+c^3y-cy^3-y^4$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое с последним и второе с третьим:

$c^4+c^3y-cy^3-y^4 = (c^4-y^4) + (c^3y-cy^3)$

Первую группу $(c^4-y^4)$ разложим как разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$c^4-y^4 = (c^2)^2-(y^2)^2 = (c^2-y^2)(c^2+y^2) = (c-y)(c+y)(c^2+y^2)$

Во второй группе $(c^3y-cy^3)$ вынесем за скобки общий множитель $cy$:

$c^3y-cy^3 = cy(c^2-y^2) = cy(c-y)(c+y)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(c-y)(c+y)(c^2+y^2) + cy(c-y)(c+y)$

Вынесем за скобки общие множители $(c-y)(c+y)$:

$(c-y)(c+y)[(c^2+y^2) + cy] = (c-y)(c+y)(c^2+cy+y^2)$

Ответ: $(c-y)(c+y)(c^2+cy+y^2)$.