Номер 5.93, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.93. Разложите на множители:

1) $a^{3n}-b^{6m}$;

2) $8x^{9k}+27y^{6p}$;

3) $\frac{a^{6m}}{64}-125c^{27n}$.

1) Для разложения на множители выражения $a^{3n}-b^{6m}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $a^{3n} = (a^n)^3$. Второй член: $b^{6m} = b^{2m \cdot 3} = (b^{2m})^3$. Теперь выражение имеет вид $(a^n)^3 - (b^{2m})^3$. Подставим $x = a^n$ и $y = b^{2m}$ в формулу разности кубов: $(a^n - b^{2m})((a^n)^2 + a^n \cdot b^{2m} + (b^{2m})^2)$. Упростим выражение вo второй скобке: $(a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^n b^{2m} + b^{4m})$.
Ответ: $(a^n - b^{2m})(a^{2n} + a^n b^{2m} + b^{4m})$.

2) Для разложения на множители выражения $8x^{9k}+27y^{6p}$ используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $8x^{9k} = 2^3 \cdot x^{3k \cdot 3} = (2x^{3k})^3$. Второй член: $27y^{6p} = 3^3 \cdot y^{2p \cdot 3} = (3y^{2p})^3$. Теперь выражение имеет вид $(2x^{3k})^3 + (3y^{2p})^3$. Подставим $x = 2x^{3k}$ и $y = 3y^{2p}$ в формулу суммы кубов: $(2x^{3k} + 3y^{2p})((2x^{3k})^2 - (2x^{3k})(3y^{2p}) + (3y^{2p})^2)$. Упростим выражение во второй скобке: $(2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.
Ответ: $(2x^{3k} + 3y^{2p})(4x^{6k} - 6x^{3k}y^{2p} + 9y^{4p})$.

3) Для разложения на множители выражения $\frac{a^{6m}}{64} - 125c^{27n}$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Сначала представим каждый член данного выражения в виде куба. Первый член: $\frac{a^{6m}}{64} = \frac{(a^{2m})^3}{4^3} = \left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^3$. Второй член: $125c^{27n} = 5^3 \cdot c^{9n \cdot 3} = (5c^{9n})^3$. Теперь выражение имеет вид $\left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^3 - (5c^{9n})^3$. Подставим $x = \frac{a^{2m}}{4}$ и $y = 5c^{9n}$ в формулу разности кубов: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\left(\frac{a^{2m}}{4}\right)^2 + \left(\frac{a^{2m}}{4}\right)(5c^{9n}) + (5c^{9n})^2\right)$. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n}\right)$.
Ответ: $\left(\frac{a^{2m}}{4} - 5c^{9n}\right)\left(\frac{a^{4m}}{16} + \frac{5a^{2m}c^{9n}}{4} + 25c^{18n}\right)$.