Номер 5.90, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.90. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1);$

2) $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12});$

3) $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20});$

4) $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4).$

1) $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1)$

Для преобразования данного произведения в многочлен воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

В нашем выражении, исходя из первого множителя $(3x^3-1)$, можно предположить, что $a = 3x^3$ и $b = 1$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(9x^6+3x^3+1)$ части формулы $(a^2+ab+b^2)$:

$a^2 = (3x^3)^2 = 9x^6$;

$ab = (3x^3) \cdot 1 = 3x^3$;

$b^2 = 1^2 = 1$.

Поскольку все части совпадают ($9x^6+3x^3+1$), мы можем применить формулу разности кубов.

$(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1) = (3x^3)^3 - 1^3 = 27x^9 - 1$.

Ответ: $27x^9 - 1$.

2) $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12})$

Данное выражение также является произведением, которое можно свернуть по формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

Здесь $a = a^5$ и $b = 3b^6$.

Проверим второй множитель $(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12})$:

$a^2 = (a^5)^2 = a^{10}$;

$ab = a^5 \cdot 3b^6 = 3a^5b^6$;

$b^2 = (3b^6)^2 = 9b^{12}$.

Второй множитель соответствует неполному квадрату суммы, поэтому применяем формулу:

$(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12}) = (a^5)^3 - (3b^6)^3 = a^{15} - 27b^{18}$.

Ответ: $a^{15} - 27b^{18}$.

3) $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$

В этом случае используется формула "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Из первого множителя $(m^3+n^{10})$ определяем, что $a = m^3$ и $b = n^{10}$.

Проверяем второй множитель $(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ на соответствие выражению $(a^2-ab+b^2)$:

$a^2 = (m^3)^2 = m^6$;

$ab = m^3 \cdot n^{10} = m^3n^{10}$;

$b^2 = (n^{10})^2 = n^{20}$.

Второй множитель $(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ является неполным квадратом разности $a$ и $b$. Применяем формулу суммы кубов:

$(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20}) = (m^3)^3 + (n^{10})^3 = m^9 + n^{30}$.

Ответ: $m^9 + n^{30}$.

4) $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4)$

Здесь также применяется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

В данном выражении $a = 7b^2$ и $b = 2$.

Проверяем второй множитель $(49b^4-14b^2+4)$:

$a^2 = (7b^2)^2 = 49b^4$;

$ab = 7b^2 \cdot 2 = 14b^2$;

$b^2 = 2^2 = 4$.

Второй множитель соответствует выражению $(a^2-ab+b^2)$, поэтому мы можем применить формулу:

$(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4) = (7b^2)^3 + 2^3 = 343b^6 + 8$.

Ответ: $343b^6 + 8$.