Номер 5.94, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.94. Докажите, что сумма:

1) $1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5;

2) $1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.

Для решения обоих пунктов задачи воспользуемся формулой суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$S_n = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

1)

Необходимо доказать, что сумма $S_9 = 1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5.

В данном случае $n=9$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму $S_9$:

$S_9 = \left(\frac{9(9+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \cdot 10}{2}\right)^2 = (45)^2$

Поскольку число 45 кратно 5 (так как $45 = 5 \cdot 9$), то и его квадрат $45^2$ также будет кратен 5. Для наглядности можно записать:

$S_9 = 45^2 = (5 \cdot 9)^2 = 5^2 \cdot 9^2 = 25 \cdot 81$

Полученное число $25 \cdot 81$ очевидно делится на 5, так как содержит множитель 25, который кратен 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ делится на 5.

2)

Необходимо доказать, что сумма $S_{49} = 1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.

В данном случае $n=49$. Подставим это значение в формулу для вычисления суммы $S_{49}$:

$S_{49} = \left(\frac{49(49+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{49 \cdot 50}{2}\right)^2 = (49 \cdot 25)^2$

Основание степени в полученном выражении, $49 \cdot 25$, содержит множитель 25, а значит, делится на 25. Следовательно, и квадрат этого числа, то есть сама сумма $S_{49}$, делится на 25. Для наглядности:

$S_{49} = (49 \cdot 25)^2 = 49^2 \cdot 25^2$

Так как результат содержит множитель $25^2$, он очевидно делится на 25. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ делится на 25.