Вопросы, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу куба суммы двух выражений.

2. Чему равен куб суммы двух выражений?

3. Напишите формулу куба разности двух выражений.

4. Чему равен куб разности двух выражений?

5. Докажите формулы (7) и (8).

1. Напишите формулу куба суммы двух выражений.

Формула куба суммы для двух произвольных выражений a и b записывается следующим образом:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

2. Чему равен куб суммы двух выражений?

Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Ответ: Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

3. Напишите формулу куба разности двух выражений.

Формула куба разности для двух произвольных выражений a и b записывается следующим образом:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

4. Чему равен куб разности двух выражений?

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Ответ: Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

5. Докажите формулы (7) и (8).

Предположим, что формула (7) — это формула куба суммы, а формула (8) — формула куба разности.

Доказательство формулы (7): Куб суммы $(a+b)^3$

1. По определению степени, куб выражения — это произведение трех одинаковых сомножителей: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$.

2. Сгруппируем первые два сомножителя: $(a+b)(a+b) = (a+b)^2$. Используем известную формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Подставим разложение квадрата суммы в исходное выражение: $(a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$.

4. Выполним умножение многочлена на двучлен, раскрыв скобки: $a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$.

5. Приведем подобные слагаемые: $a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Таким образом, тождество $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ доказано.

Доказательство формулы (8): Куб разности $(a-b)^3$

1. По определению степени: $(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)$.

2. Аналогично предыдущему доказательству, $(a-b)(a-b) = (a-b)^2$. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

3. Подставим в исходное выражение: $(a-b)^3 = (a^2 - 2ab + b^2)(a-b)$.

4. Раскроем скобки: $a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$.

5. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки у каждого слагаемого внутри, и приведем подобные члены: $a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, тождество $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ доказано.

Ответ: Доказательства для обеих формул основаны на определении степени, применении формул квадрата суммы/разности и правиле умножения многочленов с последующим приведением подобных слагаемых.