Номер 5.104, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.104. Выполните возведение в степень:

1) $(a+2b)^3;$

2) $(x-3y)^3;$

3) $(2m-3n)^3;$

4) $(4x + \frac{1}{3}y)^3;$

5) $(\frac{2}{3}a - 3b)^3;$

6) $(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)^3.$

1) Для возведения в куб выражения $(a+2b)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=a$ и $Y=2b$.
$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.
Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.

2) Для возведения в куб выражения $(x-3y)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=x$ и $Y=3y$.
$(x-3y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (3y) + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 3x(9y^2) - 27y^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$.
Ответ: $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$.

3) Для возведения в куб выражения $(2m-3n)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=2m$ и $Y=3n$.
$(2m-3n)^3 = (2m)^3 - 3 \cdot (2m)^2 \cdot (3n) + 3 \cdot (2m) \cdot (3n)^2 - (3n)^3 = 8m^3 - 3 \cdot (4m^2) \cdot (3n) + 6m \cdot (9n^2) - 27n^3 = 8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$.
Ответ: $8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$.

4) Для возведения в куб выражения $(4x+\frac{1}{3}y)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=4x$ и $Y=\frac{1}{3}y$.
$(4x+\frac{1}{3}y)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (\frac{1}{3}y) + 3 \cdot (4x) \cdot (\frac{1}{3}y)^2 + (\frac{1}{3}y)^3 = 64x^3 + 3 \cdot 16x^2 \cdot \frac{1}{3}y + 12x \cdot \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{27}y^3 = 64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$.
Ответ: $64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$.

5) Для возведения в куб выражения $(\frac{2}{3}a-3b)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=\frac{2}{3}a$ и $Y=3b$.
$(\frac{2}{3}a-3b)^3 = (\frac{2}{3}a)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (\frac{2}{3}a) \cdot (3b)^2 - (3b)^3 = \frac{8}{27}a^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}a^2 \cdot 3b + 2a \cdot 9b^2 - 27b^3 = \frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$.
Ответ: $\frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$.

6) Для возведения в куб выражения $(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=\frac{1}{3}p$ и $Y=\frac{1}{2}q$.
$(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3 = (\frac{1}{3}p)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}p)^2 \cdot (\frac{1}{2}q) + 3 \cdot (\frac{1}{3}p) \cdot (\frac{1}{2}q)^2 + (\frac{1}{2}q)^3 = \frac{1}{27}p^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}p^2 \cdot \frac{1}{2}q + p \cdot \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{8}q^3 = \frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$.
Ответ: $\frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$.