Номер 5.102, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.102. Представьте многочлен в виде куба суммы или куба разности двух выражений:

1) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3;$

2) $8+12x+6x^2+x^3;$

3) $27-27b+9b^2-b^3;$

4) $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3;$

5) $0,008+0,12a+0,6a^2+a^3;$

6) $\frac{m^3}{27}-m^2n+9mn^2-27n^3.$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности двух выражений:

• Куб суммы: $(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
• Куб разности: $(A-B)^3 = A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$

1) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Данный многочлен полностью соответствует формуле куба разности $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

В этом выражении $A=x$ и $B=y$.

Проверим: $A^3 = x^3$, $-3A^2B = -3(x)^2(y) = -3x^2y$, $3AB^2 = 3(x)(y)^2 = 3xy^2$, $-B^3 = -y^3$.

Все члены совпадают, следовательно, многочлен является кубом разности $x$ и $y$.

Ответ: $(x-y)^3$

2) $8+12x+6x^2+x^3$

Этот многочлен соответствует формуле куба суммы $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=8$, тогда $A=2$. Пусть $B^3=x^3$, тогда $B=x$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3(2^2)(x) = 3 \cdot 4 \cdot x = 12x$.

$3AB^2 = 3(2)(x^2) = 6x^2$.

Все члены совпадают. Таким образом, многочлен можно представить в виде куба суммы $2$ и $x$.

Ответ: $(2+x)^3$

3) $27-27b+9b^2-b^3$

Для этого многочлена применим формулу куба разности $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=27$, тогда $A=3$. Пусть $B^3=b^3$, тогда $B=b$.

Проверим средние члены:

$-3A^2B = -3(3^2)(b) = -3 \cdot 9 \cdot b = -27b$.

$3AB^2 = 3(3)(b^2) = 9b^2$.

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, многочлен является кубом разности $3$ и $b$.

Ответ: $(3-b)^3$

4) $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$

Этот многочлен имеет вид формулы куба суммы: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=a^3$, тогда $A=a$. Пусть $B^3=8b^3=(2b)^3$, тогда $B=2b$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3(a^2)(2b) = 6a^2b$.

$3AB^2 = 3(a)((2b)^2) = 3a(4b^2) = 12ab^2$.

Все члены совпадают, поэтому многочлен является кубом суммы $a$ и $2b$.

Ответ: $(a+2b)^3$

5) $0,008+0,12a+0,6a^2+a^3$

Для данного многочлена применим формулу куба суммы: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=0,008=(0,2)^3$, тогда $A=0,2$. Пусть $B^3=a^3$, тогда $B=a$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3((0,2)^2)(a) = 3(0,04)a = 0,12a$.

$3AB^2 = 3(0,2)(a^2) = 0,6a^2$.

Все члены совпадают. Следовательно, многочлен является кубом суммы $0,2$ и $a$.

Ответ: $(0,2+a)^3$

6) $\frac{m^3}{27}-m^2n+9mn^2-27n^3$

Этот многочлен имеет вид формулы куба разности: $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=\frac{m^3}{27}=(\frac{m}{3})^3$, тогда $A=\frac{m}{3}$. Пусть $B^3=27n^3=(3n)^3$, тогда $B=3n$.

Проверим средние члены:

$-3A^2B = -3(\frac{m}{3})^2(3n) = -3(\frac{m^2}{9})(3n) = -m^2n$.

$3AB^2 = 3(\frac{m}{3})((3n)^2) = m(9n^2) = 9mn^2$.

Все члены совпадают. Следовательно, многочлен является кубом разности $\frac{m}{3}$ и $3n$.

Ответ: $(\frac{m}{3}-3n)^3$