Номер 5.103, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.103. Упростите выражение:

1) $8a^3+36a^2+54a+27;$

2) $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3;$

3) $\frac{u^3}{8}+\frac{3u^2v}{2}+6uv^2+8v^3;$

4) $0,001a^3-0,3a^2b+30ab^2-1000b^3.$

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Куб суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
• Куб разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

1) $8a^3+36a^2+54a+27$

Данное выражение похоже на формулу куба суммы. Проверим это.
Первый член: $8a^3 = (2a)^3$.
Последний член: $27 = 3^3$.
Предположим, что это куб суммы $(2a+3)$. Раскроем его по формуле:
$(2a+3)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 + 3^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot 3 + 6a \cdot 9 + 27 = 8a^3+36a^2+54a+27$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(2a+3)^3$.

2) $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3$

Знаки в выражении чередуются, что соответствует формуле куба разности.
Первый член: $125x^3 = (5x)^3$.
Последний член: $27y^3 = (3y)^3$.
Предположим, что это куб разности $(5x-3y)$. Раскроем его по формуле:
$(5x-3y)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 125x^3 - 3 \cdot 25x^2 \cdot 3y + 15x \cdot 9y^2 - 27y^3 = 125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(5x-3y)^3$.

3) $\frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3$

Все знаки положительные, значит, это формула куба суммы.
Первый член: $\frac{u^3}{8} = (\frac{u}{2})^3$.
Последний член: $8v^3 = (2v)^3$.
Предположим, что это куб суммы $(\frac{u}{2} + 2v)$. Раскроем его по формуле:
$(\frac{u}{2} + 2v)^3 = (\frac{u}{2})^3 + 3 \cdot (\frac{u}{2})^2 \cdot (2v) + 3 \cdot (\frac{u}{2}) \cdot (2v)^2 + (2v)^3 = \frac{u^3}{8} + 3 \cdot \frac{u^2}{4} \cdot 2v + \frac{3u}{2} \cdot 4v^2 + 8v^3 = \frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(\frac{u}{2} + 2v)^3$.

4) $0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3$

Знаки в выражении чередуются, что соответствует формуле куба разности.
Первый член: $0,001a^3 = (0,1a)^3$.
Последний член: $1000b^3 = (10b)^3$.
Предположим, что это куб разности $(0,1a - 10b)$. Раскроем его по формуле:
$(0,1a - 10b)^3 = (0,1a)^3 - 3 \cdot (0,1a)^2 \cdot (10b) + 3 \cdot (0,1a) \cdot (10b)^2 - (10b)^3 = 0,001a^3 - 3 \cdot 0,01a^2 \cdot 10b + 0,3a \cdot 100b^2 - 1000b^3 = 0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(0,1a - 10b)^3$.