Номер 5.101, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.101. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $ (4m+\frac{1}{3}n)^3 $;

2) $ (\frac{2}{3}x-3y)^3 $;

3) $ (\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b)^3 $;

4) $ (\frac{1}{6}x+2y)^3 $;

5) $ (0,2x-5y)^3 $;

6) $ (3a-0,6b)^3 $;

7) $ (0,1m-4n)^3 $;

8) $ (0,5a+0,16)^3 $.

Для представления выражений в виде многочлена необходимо использовать формулы сокращенного умножения: куб суммы и куб разности.

• Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(4m + \frac{1}{3}n)^3$

Применим формулу куба суммы, где $a = 4m$ и $b = \frac{1}{3}n$.

$(4m + \frac{1}{3}n)^3 = (4m)^3 + 3 \cdot (4m)^2 \cdot (\frac{1}{3}n) + 3 \cdot (4m) \cdot (\frac{1}{3}n)^2 + (\frac{1}{3}n)^3$

Выполним вычисления по шагам:

$(4m)^3 = 64m^3$

$3 \cdot (4m)^2 \cdot (\frac{1}{3}n) = 3 \cdot 16m^2 \cdot \frac{1}{3}n = 16m^2n$

$3 \cdot (4m) \cdot (\frac{1}{3}n)^2 = 12m \cdot \frac{1}{9}n^2 = \frac{12}{9}mn^2 = \frac{4}{3}mn^2$

$(\frac{1}{3}n)^3 = \frac{1}{27}n^3$

Соберем все члены вместе:

$64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$

Ответ: $64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$.

2) $(\frac{2}{3}x - 3y)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3y$.

$(\frac{2}{3}x - 3y)^3 = (\frac{2}{3}x)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (\frac{2}{3}x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{8}{27}x^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}x^2 \cdot 3y + 3 \cdot \frac{2}{3}x \cdot 9y^2 - 27y^3$

$= \frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$

Ответ: $\frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$.

3) $(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^3$

Применим формулу куба суммы, где первый член $ \frac{1}{3}a $ и второй член $ \frac{1}{2}b $.

$(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^3 = (\frac{1}{3}a)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}a)^2 \cdot (\frac{1}{2}b) + 3 \cdot (\frac{1}{3}a) \cdot (\frac{1}{2}b)^2 + (\frac{1}{2}b)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{1}{27}a^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}a^2 \cdot \frac{1}{2}b + 3 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{4}b^2 + \frac{1}{8}b^3$

$= \frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$

Ответ: $\frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$.

4) $(\frac{1}{6}x + 2y)^3$

Применим формулу куба суммы, где $a = \frac{1}{6}x$ и $b = 2y$.

$(\frac{1}{6}x + 2y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{6}x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot (\frac{1}{6}x) \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{1}{216}x^3 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^2 \cdot 2y + 3 \cdot \frac{1}{6}x \cdot 4y^2 + 8y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{6}{36}x^2y + \frac{12}{6}xy^2 + 8y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$.

5) $(0,2x - 5y)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 0,2x$ и $b = 5y$.

$(0,2x - 5y)^3 = (0,2x)^3 - 3 \cdot (0,2x)^2 \cdot (5y) + 3 \cdot (0,2x) \cdot (5y)^2 - (5y)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,008x^3 - 3 \cdot 0,04x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 0,2x \cdot 25y^2 - 125y^3$

$= 0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$

Ответ: $0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$.

6) $(3a - 0,6b)^3$

Применим формулу куба разности, где первый член $3a$ и второй член $0,6b$.

$(3a - 0,6b)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot (0,6b) + 3 \cdot (3a) \cdot (0,6b)^2 - (0,6b)^3$

Выполним вычисления:

$= 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot 0,6b + 9a \cdot 0,36b^2 - 0,216b^3$

$= 27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$

Ответ: $27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$.

7) $(0,1m - 4n)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 0,1m$ и $b = 4n$.

$(0,1m - 4n)^3 = (0,1m)^3 - 3 \cdot (0,1m)^2 \cdot (4n) + 3 \cdot (0,1m) \cdot (4n)^2 - (4n)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,001m^3 - 3 \cdot 0,01m^2 \cdot 4n + 0,3m \cdot 16n^2 - 64n^3$

$= 0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$

Ответ: $0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$.

8) $(0,5a + 0,1b)^3$

Применим формулу куба суммы, где первый член $0,5a$ и второй член $0,1b$.

$(0,5a + 0,1b)^3 = (0,5a)^3 + 3 \cdot (0,5a)^2 \cdot (0,1b) + 3 \cdot (0,5a) \cdot (0,1b)^2 + (0,1b)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,125a^3 + 3 \cdot 0,25a^2 \cdot 0,1b + 1,5a \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3$

$= 0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$

Ответ: $0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$.